Inicio · Parte 05 — Álgebra lineal I: vectores y matrices
A·A⁻¹ = I
2×2: A⁻¹ = (1/det)·[[d,−b],[−c,a]]
resolver Ax = b: usar factorización, no A⁻¹bLa inversa de una matriz es la que deshace su transformación. Existe si y solo si la matriz es cuadrada y de rango completo, condición equivalente a que su determinante sea no nulo. Para 2×2 hay fórmula cerrada; para tamaños mayores se calcula con eliminación de Gauss-Jordan.
El mensaje práctico de esta clase es una recomendación explícita: no calcules la inversa para resolver un sistema. A⁻¹b cuesta unas tres veces más que resolver directamente y es numéricamente peor, porque acumula error en cada entrada de la inversa antes de multiplicar. Ninguna biblioteca seria lo hace, y ver inv(A) @ b en código es señal de que quien lo escribió no conoce esta distinción.
Hay casos legítimos para calcular la inversa: cuando se necesita explícitamente, como en la matriz de covarianza inversa (matriz de precisión) de un modelo gaussiano, o al analizar la sensibilidad de un sistema. Incluso ahí, si la matriz está mal condicionada, conviene usar la pseudoinversa vía SVD (clase 134).
La comprobación de que la inversa se calculó bien es directa: A·A⁻¹ debe dar la identidad dentro de una tolerancia. Que no dé exactamente la identidad es esperado, y la magnitud de la desviación informa sobre el condicionamiento del problema.
Inversa de una matriz 2×2 y su verificación.
A = [[4,7],[2,6]]
det = 4·6 − 7·2 = 10 ≠ 0 → invertible
A⁻¹ = (1/10)·[[6,−7],[−2,4]] = [[0.6,−0.7],[−0.2,0.4]]
A·A⁻¹ = [[1,0],[0,1]] ✓ identidad
Coste comparado para resolver Ax = b:
vía inversa: ~n³ + n² operaciones y peor precisión
vía factorización: ~n³/3 operacionesLa inversa existe, pero rara vez conviene calcularla.
python classes/part-05-algebra-lineal-i-vectores-y-matrices/116-inversa-de-una-matriz/lab.py
compmath run 116AA⁻¹A·A⁻¹es_identidaddeterminanteformula_2x2recomendacion{
"A": [
[
4.0,
7.0
],
[
2.0,
6.0
]
],
"A⁻¹": [
[
0.6,
-0.7
],
[
-0.2,
0.4
]
],
"A·A⁻¹": [
[
1.0,
0.0
],
[
0.0,
1.0
]
],
"es_identidad": true,
"determinante": 10.0,
"formula_2x2": "1/det · [[d,-b],[-c,a]]"
}Matriz de precisión en modelos gaussianos, análisis de sensibilidad y transformaciones inversas en gráficos. Para resolver sistemas, siempre factorización.
Cada capa densa es un producto matriz-vector. Los embeddings viven en subespacios y la similitud entre ellos es producto punto normalizado.
9780898718027, pendiente de resolver.solve en lugar de inv — Álgebra lineal numérica: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en NumPy developers (2026-08-19).