Inicio · Parte 05 — Álgebra lineal I: vectores y matrices
det(AB) = det(A)·det(B)
det(A) = 0 ⟺ A es singular
|det| = factor de escalado del volumenEl determinante tiene una definición algebraica engorrosa y una interpretación geométrica limpia: es el factor —con signo— por el que la transformación multiplica el volumen. En 2D es el área del paralelogramo de las columnas; en 3D, el volumen del paralelepípedo; en n dimensiones, el volumen n-dimensional.
Desde esa lectura, las propiedades se vuelven evidentes. det(AB) = det(A)det(B) porque aplicar dos transformaciones escala el volumen por el producto de sus factores. Un determinante nulo significa que la transformación aplasta el espacio en una dimensión menor, y por eso no es invertible: no se puede recuperar volumen de algo aplastado. Un determinante negativo indica inversión de orientación.
Computacionalmente, el determinante no es un buen indicador de singularidad. Escalar una matriz por 0.1 divide su determinante por 10ⁿ, así que un determinante minúsculo puede corresponder a una matriz perfectamente bien condicionada. El indicador correcto es el número de condición, cociente entre el mayor y el menor valor singular (clase 132).
Donde el determinante sí es imprescindible es en el cambio de variable: al transformar una densidad de probabilidad, el jacobiano corrige el factor de volumen. Sin esa corrección, la densidad transformada no integraría a 1. Esa es la base de los normalizing flows.
Determinante de tres transformaciones.
A = [[2,0],[0,3]] diagonal
det = 6 → escala las áreas por 6
B = [[1,2],[2,4]] fila2 = 2·fila1
det = 0 → singular, aplasta el plano en una recta
F = [[0,1],[1,0]] reflexión
det = −1 → conserva el área, invierte la orientación
Producto: det(A·M) = det(A)·det(M) ✓ verificadoEl determinante mide el escalado de volumen y detecta singularidad.
python classes/part-05-algebra-lineal-i-vectores-y-matrices/117-determinantes/lab.py
compmath run 117A_diagonaldet_Aescala_areas_porB_singulardet_BB_es_singulardet(AB)=det(A)det(B)det_negativo_invierte_orientacion{
"A_diagonal": [
[
2.0,
0.0
],
[
0.0,
3.0
]
],
"det_A": 6.0,
"escala_areas_por": 6.0,
"B_singular": [
[
1.0,
2.0
],
[
2.0,
4.0
]
],
"det_B": 0.0,
"B_es_singular": true
}Cambio de variable en integrales y en densidades, normalizing flows, detección de degeneración geométrica y cálculo de volúmenes.
Cada capa densa es un producto matriz-vector. Los embeddings viven en subespacios y la similitud entre ellos es producto punto normalizado.
9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).