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Inicio · Parte 05 — Álgebra lineal I: vectores y matrices

113 — Sistemas lineales

intermedio clase 13 de 20 4 horas demostración linear_systems

Un sistema lineal tiene solución única si el determinante no es nulo; el residuo es el criterio de aceptación.

Fórmulas

Ax = b
residuo r = Ax − b, debe ser ≈ 0
solución única ⟺ det(A) ≠ 0 ⟺ rango(A) = n

Desarrollo

Resolver Ax = b es el problema computacional más frecuente del álgebra lineal, y sus tres desenlaces posibles —solución única, ninguna o infinitas— se distinguen por el rango. Con determinante no nulo, la matriz es invertible y la solución es única; con determinante nulo, hay que comparar el rango de A con el de la matriz ampliada para distinguir los otros dos casos.

El residuo r = Ax − b es el criterio de aceptación universal. Un solver puede devolver un vector sin lanzar ninguna excepción y estar equivocado; calcular el residuo cuesta una multiplicación matriz-vector y detecta el problema. La regla del programa es que ningún resultado de un solver se acepta sin comprobar su residuo.

Un residuo pequeño no garantiza que la solución sea precisa: en un sistema mal condicionado, un residuo minúsculo puede corresponder a una solución muy alejada de la correcta. La relación entre ambos la da el número de condición (clase 035), y esa es la razón por la que el residuo es necesario pero no suficiente.

Geométricamente, cada ecuación de un sistema 3×3 es un plano, y la solución es su punto de intersección. Sin solución significa que no hay punto común; infinitas soluciones, que los planos se cortan en una recta o coinciden.

Ejemplo trabajado

Sistema 3×3 con solución única.

A = [[ 2,  1, −1],      b = ( 8,
     [−3, −1,  2],           −11,
     [−2,  1,  2]]            −3)

det(A) = −1 ≠ 0  →  solución única

x = (2, 3, −1)

Residuo: Ax − b = (0, 0, 0)     ✓
‖r‖ = 0.0

Verificación por ecuación:
  2·2 + 1·3 − 1·(−1) = 8        ✓

Qué calcula el laboratorio

Sistema 3x3: solución, residuo y unicidad.

python classes/part-05-algebra-lineal-i-vectores-y-matrices/113-sistemas-lineales/lab.py
compmath run 113

Salidas del laboratorio (7)

Muestra de la ejecución real

{
  "A": [
    [
      2.0,
      1.0,
      -1.0
    ],
    [
      -3.0,
      -1.0,
      2.0
    ],
    [
      -2.0,
      1.0,
      2.0
    ]
  ],
  "b": [
    8.0,
    -11.0,
    -3.0
  ],
  "x": [
    2.0,
    3.0,
    -1.0
  ],
  "residuo": [
    0.0,
    0.0,
    0.0
  ],
  "norma_del_residuo": 8.881784197001252e-16,
  "determinante": -0.9999999999999993
}

Errores comunes

Dónde se usa

Ajuste de modelos lineales, equilibrio en circuitos y estructuras, interpolación, balance de reacciones y cualquier problema con restricciones lineales.

Idea rectora de la parte

Resolver Ax=b casi nunca requiere calcular A⁻¹.

Error a evitar

Invertir una matriz mal condicionada en lugar de factorizar.

Conexión con IA

Cada capa densa es un producto matriz-vector. Los embeddings viven en subespacios y la similitud entre ellos es producto punto normalizado.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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