Inicio · Parte 05 — Álgebra lineal I: vectores y matrices
(u + v)ᵢ = uᵢ + vᵢ
‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖La suma de vectores tiene dos lecturas que conviene mantener a la vez. Algebraicamente se suman las componentes. Geométricamente se aplica la regla del paralelogramo: el resultado es la diagonal del paralelogramo que forman ambos vectores. Las dos describen la misma operación.
La desigualdad triangular —‖u+v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖— dice que el camino directo nunca es más largo que el rodeo, y es una de las tres condiciones que definen una norma. La igualdad se alcanza solo cuando los vectores son paralelos y del mismo sentido; en cualquier otro caso hay cancelación parcial.
Esa desigualdad no es un tecnicismo: es la que permite acotar errores acumulados. Si el error de cada paso está acotado, el error total lo está por la suma, y de ahí salen las cotas de estabilidad de los métodos iterativos (parte 11) y las cotas de generalización (parte 17).
Restar es sumar el opuesto, y u − v es el vector que va de v a u. Esa interpretación —la diferencia como desplazamiento— es la que convierte ‖u − v‖ en la distancia entre los dos puntos, conectando con la clase 061.
Suma, resta y desigualdad triangular.
u = (1, 2), v = (3, −1)
u + v = (4, 1)
u − v = (−2, 3)
2u − 3v = (2,4) − (9,−3) = (−7, 7)
‖u+v‖ = √17 = 4.123
‖u‖ + ‖v‖ = √5 + √10 = 2.236 + 3.162 = 5.398
4.123 ≤ 5.398 ✓ desigualdad triangular
La diferencia (5.398 − 4.123) mide cuánto se cancelan entre sí.Suma, resta y combinación lineal con interpretación geométrica.
python classes/part-05-algebra-lineal-i-vectores-y-matrices/102-operaciones-con-vectores/lab.py
compmath run 102uvu+vu-v2u-3v|u+v||u|+|v|desigualdad_triangular{
"u": [
1.0,
2.0
],
"v": [
3.0,
-1.0
],
"u+v": [
4.0,
1.0
],
"u-v": [
-2.0,
3.0
],
"2u-3v": [
-7.0,
7.0
],
"|u+v|": 4.123105625617661
}Composición de desplazamientos, acumulación de gradientes, cotas de error en métodos iterativos y agregación de vectores en sistemas de recomendación.
Cada capa densa es un producto matriz-vector. Los embeddings viven en subespacios y la similitud entre ellos es producto punto normalizado.
9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).