Inicio · Parte 06 — Álgebra lineal II: descomposiciones y tensores

125 — Autovalores y autovectores

intermedio-avanzado clase 5 de 20 4 horas demostración eigen

Un autovector es una dirección que la transformación solo escala; su factor es el autovalor.

Fórmulas

Av = λv,  v ≠ 0
Σλᵢ = tr(A),   Πλᵢ = det(A)

Desarrollo

Casi todo vector cambia de dirección al aplicarle una transformación. Los autovectores son las excepciones: direcciones que solo se estiran o encogen, con factor el autovalor. Encontrarlas es encontrar los ejes naturales de la transformación.

Las dos identidades que conectan autovalores con invariantes son muy útiles como verificación: su suma es la traza y su producto el determinante. Comprobarlas cuesta nada y detecta errores de cálculo de inmediato, que es por lo que el laboratorio las incluye.

Para matrices simétricas —el caso que más importa aquí— los autovalores son reales y los autovectores ortogonales. Ese resultado, el teorema espectral, no vale para matrices generales: una rotación en el plano no tiene autovectores reales, porque ninguna dirección se conserva. Sus autovalores son complejos, y su parte imaginaria codifica el ángulo.

El método de cálculo del motor es la iteración de Jacobi, que anula sistemáticamente los elementos fuera de la diagonal mediante rotaciones. Es estable, converge siempre para simétricas y es fácil de leer, aunque no sea el más rápido. En la práctica profesional se usa el algoritmo QR con desplazamientos.

Ejemplo trabajado

Autovalores de una matriz simétrica 2×2.

A = [[4, 1],
     [1, 3]]

autovalores: λ₁ = 4.6180,  λ₂ = 2.3820
autovector dominante: (0.8507, 0.5257)

Verificación Av = λv:
  A·v = (3.9284, 2.4272)
  λ₁·v = (3.9284, 2.4272)                  ✓

Invariantes:
  suma  4.6180 + 2.3820 = 7 = tr(A)        ✓
  producto 4.6180 · 2.3820 = 11 = det(A)   ✓

Qué calcula el laboratorio

Autovalores: direcciones que la transformación solo escala.

python classes/part-06-algebra-lineal-ii-descomposiciones-y-tensores/125-autovalores-y-autovectores/lab.py
compmath run 125

Salidas del laboratorio (8)

A
autovalores
autovector_dominante
A·v
λ·v
Av=λv
traza_es_suma_de_autovalores
det_es_producto_de_autovalores

Muestra de la ejecución real

{
  "A": [
    [
      4.0,
      1.0
    ],
    [
      1.0,
      3.0
    ]
  ],
  "autovalores": [
    4.61803399,
    2.38196601
  ],
  "autovector_dominante": [
    0.85065081,
    0.52573111
  ],
  "A·v": [
    3.92833435,
    2.42784414
  ],
  "λ·v": [
    3.92833435,
    2.42784414
  ],
  "Av=λv": true
}

Errores comunes

Buscar autovectores reales en matrices de rotación.
Olvidar normalizar los autovectores al compararlos.
No verificar con la traza y el determinante.

Dónde se usa

PCA, análisis de estabilidad de sistemas dinámicos, PageRank, modos de vibración y curvatura del Hessiano en optimización.

Idea rectora de la parte

Broadcasting y einsum son notación, no algoritmos nuevos.

Error a evitar

Interpretar autovalores complejos como error de cálculo.

Conexión con IA

LoRA factoriza matrices de bajo rango, la atención se define con productos tensoriales y la estabilidad del entrenamiento depende del espectro de los pesos.

Bibliografía de la clase

Trefethen & Bau. Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997, lecc. 24-29 — Álgebra lineal y Álgebra lineal numérica: el tema de esta clase · ISBN-13 9780898719574 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 6ª ed., 2023, cap. 6 — Álgebra lineal: el tema de esta clase · ISBN-13 9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

Archivos de la clase

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