Inicio · Parte 06 — Álgebra lineal II: descomposiciones y tensores
núcleo = {x : Ax = 0}
imagen = espacio columna
rango + nulidad = nEl núcleo de una transformación es el conjunto de vectores que manda al cero, y la imagen es el conjunto de vectores alcanzables. Ambos son subespacios, y el teorema del rango-nulidad los relaciona: la suma de sus dimensiones es el número de columnas.
La lectura es de conservación: cada dimensión de entrada o bien sobrevive en la imagen o bien colapsa en el núcleo. No hay una tercera opción. Si una transformación de ℝ³ en ℝ² tiene rango 2, su núcleo tiene dimensión 1: hay una recta entera de vectores distintos que producen la misma salida.
Esa pérdida es irreversible. Si el núcleo no es trivial, la transformación no es inyectiva y no se puede invertir: dada una salida, no se sabe de qué entrada vino. Es la versión lineal de la inyectividad de la clase 086, y es la razón por la que una capa que reduce dimensión pierde información necesariamente.
El núcleo también describe la no unicidad de la solución de un sistema: si x₀ resuelve Ax = b, entonces x₀ + k también lo resuelve para cualquier k del núcleo. Por eso un sistema con núcleo no trivial tiene infinitas soluciones, y por eso la pseudoinversa (clase 134) elige entre ellas la de norma mínima.
Núcleo e imagen de una matriz 2×3 de rango 1.
A = [[1, 2, 3],
[2, 4, 6]] (fila2 = 2·fila1)
rango = 1 (dimensión de la imagen)
columnas = 3
nulidad = 3 − 1 = 2 ✓ teorema
Un vector del núcleo: (2, −1, 0)
A·(2,−1,0) = (2−2+0, 4−4+0) = (0,0) ✓
Consecuencia: A no es inyectiva.
Infinitos vectores distintos dan la misma salida.Núcleo, imagen y teorema del rango-nulidad.
python classes/part-06-algebra-lineal-ii-descomposiciones-y-tensores/124-nucleo-e-imagen/lab.py
compmath run 124Acolumnasrango_(dim_imagen)nulidad_(dim_nucleo)rango+nulidadteorema_verificadovector_del_nucleoA·nucleo{
"A": [
[
1.0,
2.0,
3.0
],
[
2.0,
4.0,
6.0
]
],
"columnas": 3,
"rango_(dim_imagen)": 1,
"nulidad_(dim_nucleo)": 2,
"rango+nulidad": 3,
"teorema_verificado": true
}Unicidad de soluciones, pérdida de información en capas con reducción de dimensión, análisis de identificabilidad de modelos y espacios nulos en optimización con restricciones.
LoRA factoriza matrices de bajo rango, la atención se define con productos tensoriales y la estabilidad del entrenamiento depende del espectro de los pesos.
9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).