Inicio · Parte 06 — Álgebra lineal II: descomposiciones y tensores
A = LU
resolver: Ly = b (hacia delante), luego Ux = y (hacia atrás)
det(A) = Π uᵢᵢLa factorización LU descompone una matriz en el producto de una triangular inferior con unos en la diagonal y una triangular superior. No es un algoritmo nuevo: es la eliminación de Gauss guardando los multiplicadores en lugar de descartarlos.
Su valor está en la reutilización. Factorizar cuesta O(n³/3), pero una vez hecho, resolver Ax = b para cada nuevo b cuesta solo O(n²): dos sustituciones triangulares. Si hay que resolver mil sistemas con la misma matriz —caso frecuente en simulación y en métodos implícitos— la diferencia es de tres órdenes de magnitud.
Como subproducto, el determinante sale gratis: es el producto de la diagonal de U, corregido por el signo de los intercambios de fila. Calcularlo así cuesta O(n³) en lugar del O(n!) de la definición de Laplace.
La versión sin pivoteo que implementa el motor —Doolittle— falla si aparece un pivote nulo, y es numéricamente frágil con pivotes pequeños. Las bibliotecas reales usan LU con pivoteo parcial (PA = LU), y por eso scipy.linalg.lu devuelve también una matriz de permutación.
Factorizar una matriz 2×2.
A = [[4,3],[6,3]]
L = [[1, 0], U = [[4, 3],
[1.5, 1]] [0, −1.5]]
L·U = [[4,3],[6,3]] = A ✓
det(A) = 4 · (−1.5) = −6 ✓
Coste:
factorizar: O(n³/3)
cada sistema adicional: O(n²)LU: factorizar una vez, resolver muchos sistemas.
python classes/part-06-algebra-lineal-ii-descomposiciones-y-tensores/129-descomposicion-lu/lab.py
compmath run 129ALULUreconstruccion_okdet_como_producto_de_Ucoste_factorizacioncoste_por_sistema_extra{
"A": [
[
4.0,
3.0
],
[
6.0,
3.0
]
],
"L": [
[
1.0,
0.0
],
[
1.5,
1.0
]
],
"U": [
[
4.0,
3.0
],
[
0.0,
-1.5
]
],
"LU": [
[
4.0,
3.0
],
[
6.0,
3.0
]
],
"reconstruccion_ok": true,
"det_como_producto_de_U": -6.0
}Solvers de sistemas lineales, métodos implícitos en EDO, simulación con la misma matriz y muchos lados derechos, y cálculo eficiente de determinantes.
LoRA factoriza matrices de bajo rango, la atención se define con productos tensoriales y la estabilidad del entrenamiento depende del espectro de los pesos.
9781421407944 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).scipy.linalg.lu — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en SciPy developers (2026-08-19).