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Inicio · Parte 06 — Álgebra lineal II: descomposiciones y tensores

123 — Transformaciones lineales

intermedio-avanzado clase 3 de 20 4 horas demostración linear_transformations

Una transformación es lineal si preserva sumas y escalados; sus columnas son las imágenes de la base.

Fórmulas

T(u+v) = T(u) + T(v)
T(ku) = k·T(u)
T(0) = 0  (condición necesaria)

Desarrollo

Una transformación lineal es la que respeta la estructura del espacio vectorial: transformar una suma es sumar las transformaciones, y transformar un múltiplo es multiplicar la transformación. Ambas condiciones juntas equivalen a preservar combinaciones lineales.

De ahí se deduce inmediatamente que T(0) = 0. Esa condición necesaria es la que excluye la traslación: mover el origen no es una transformación lineal, y por eso las coordenadas homogéneas de la clase 073 tuvieron que ampliar la dimensión.

El resultado que hace todo esto operativo es que toda transformación lineal está determinada por lo que hace con los vectores de la base. Si se sabe a dónde va cada eᵢ, se sabe a dónde va cualquier vector, porque todo vector es combinación de la base. Y esas imágenes son precisamente las columnas de la matriz.

La consecuencia práctica al leer código: para entender qué hace una matriz de pesos, mirar sus columnas dice a dónde manda cada entrada; mirar sus filas dice de qué depende cada salida. Las dos lecturas son útiles y responden preguntas distintas.

Ejemplo trabajado

Verificar linealidad de una escala.

A = [[2,0],[0,3]]   (escala x2 en x, x3 en y)

u = (1,2),  v = (3,−1),  k = 4

Aditividad:
  A(u+v) = A(4,1) = (8,3)
  Au + Av = (2,6) + (6,−3) = (8,3)          ✓

Homogeneidad:
  A(4u) = A(4,8) = (8,24)
  4·Au  = 4·(2,6) = (8,24)                  ✓

T(0) = (0,0)                                ✓

Columnas de A: (2,0) y (0,3)
  son las imágenes de e₁ y e₂

Qué calcula el laboratorio

Una transformación lineal preserva sumas y escalados.

python classes/part-06-algebra-lineal-ii-descomposiciones-y-tensores/123-transformaciones-lineales/lab.py
compmath run 123

Salidas del laboratorio (8)

Muestra de la ejecución real

{
  "matriz": [
    [
      2.0,
      0.0
    ],
    [
      0.0,
      3.0
    ]
  ],
  "T(u+v)": [
    8.0,
    3.0
  ],
  "T(u)+T(v)": [
    8.0,
    3.0
  ],
  "aditiva": true,
  "T(ku)": [
    8.0,
    24.0
  ],
  "kT(u)": [
    8.0,
    24.0
  ]
}

Errores comunes

Dónde se usa

Capas densas, transformaciones geométricas, filtros lineales y cualquier operación que deba conmutar con la suma de sus entradas.

Idea rectora de la parte

PCA es la SVD de los datos centrados: no hay magia estadística adicional.

Error a evitar

Confundir el orden de los índices al reordenar un tensor.

Conexión con IA

LoRA factoriza matrices de bajo rango, la atención se define con productos tensoriales y la estabilidad del entrenamiento depende del espectro de los pesos.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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