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Inicio · Parte 06 — Álgebra lineal II: descomposiciones y tensores

122 — Cambio de base

intermedio-avanzado clase 2 de 20 4 horas demostración change_of_basis

A y P⁻¹AP representan la misma transformación en bases distintas y comparten sus invariantes.

Fórmulas

A' = P⁻¹AP  (semejanza)
tr(A') = tr(A),  det(A') = det(A),  autovalores iguales

Desarrollo

Si P es la matriz cuyas columnas son los vectores de la nueva base, entonces P⁻¹AP es la misma transformación expresada en esa base. La lectura de la fórmula, de derecha a izquierda, es literal: pasar de la nueva base a la canónica (P), aplicar la transformación (A) y volver (P⁻¹).

Las matrices relacionadas así se llaman semejantes, y comparten todo lo que no depende de la base: traza, determinante, rango, polinomio característico y autovalores. Esos son los invariantes de la transformación, y son las magnitudes que describen la transformación en sí, no su representación.

Que la traza y el determinante sean invariantes explica por qué son iguales a la suma y al producto de los autovalores respectivamente: los autovalores tampoco dependen de la base, y en la base diagonal la traza es su suma y el determinante su producto.

La diagonalización de la clase 126 es el caso particular en que la nueva base está formada por autovectores y A' resulta diagonal. No siempre existe esa base —hay matrices no diagonalizables— pero para las simétricas sí, y siempre ortonormal.

Ejemplo trabajado

Cambio de base con P y su inversa.

P = [[1, 1],     P⁻¹ = [[0.5,  0.5],
     [1,−1]]            [0.5, −0.5]]

P·P⁻¹ = I                                  ✓

v = (3,1) en base canónica
coordenadas nuevas: P⁻¹v = (2, 1)
vuelta:             P·(2,1) = (3,1)        ✓

Semejanza: A' = P⁻¹AP
  misma transformación, otra representación
  mismos autovalores, traza y determinante

Qué calcula el laboratorio

Matriz de cambio de base y su inversa.

python classes/part-06-algebra-lineal-ii-descomposiciones-y-tensores/122-cambio-de-base/lab.py
compmath run 122

Salidas del laboratorio (6)

Muestra de la ejecución real

{
  "P": [
    [
      1.0,
      1.0
    ],
    [
      1.0,
      -1.0
    ]
  ],
  "P⁻¹": [
    [
      0.5,
      0.5
    ],
    [
      0.5,
      -0.5
    ]
  ],
  "coordenadas_nuevas_P⁻¹v": [
    2.0,
    1.0
  ],
  "vuelta_a_la_canonica": [
    3.0,
    1.0
  ],
  "P·P⁻¹": [
    [
      1.0,
      0.0
    ],
    [
      0.0,
      1.0
    ]
  ],
  "similaridad": "A' = P⁻¹AP representa la misma transformación"
}

Errores comunes

Dónde se usa

Diagonalización, análisis de sistemas dinámicos, cambio de sistema de referencia y reducción de una forma cuadrática a ejes principales.

Idea rectora de la parte

La SVD existe para toda matriz, incluso no cuadrada y singular.

Error a evitar

Interpretar autovalores complejos como error de cálculo.

Conexión con IA

LoRA factoriza matrices de bajo rango, la atención se define con productos tensoriales y la estabilidad del entrenamiento depende del espectro de los pesos.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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