Inicio · Parte 06 — Álgebra lineal II: descomposiciones y tensores
A⁺ = VΣ⁺Uᵀ
sobredeterminado: A⁺b = solución de mínimos cuadrados
indeterminado: A⁺b = solución de norma mínimaLa pseudoinversa de Moore-Penrose extiende la inversa a matrices que no la tienen: rectangulares o singulares. Se construye desde la SVD invirtiendo los valores singulares no nulos y dejando en cero los demás.
Su comportamiento depende del caso. Si el sistema está sobredeterminado —más ecuaciones que incógnitas—, A⁺b da la solución de mínimos cuadrados. Si está indeterminado —infinitas soluciones—, da la de norma mínima entre todas ellas. Esa elección no es arbitraria: es la solución sin componente en el núcleo, la más «económica».
El detalle numérico que importa: al invertir los valores singulares, los más pequeños se convierten en los más grandes y amplifican el ruido. Por eso la pseudoinversa práctica trunca: descarta los valores singulares por debajo de una tolerancia relativa. Ese truncamiento es una forma de regularización, emparentada con Ridge.
Cuando A tiene rango completo por columnas, A⁺ = (AᵀA)⁻¹Aᵀ y coincide con las ecuaciones normales. La versión SVD es preferible porque funciona también cuando el rango es deficiente, donde las ecuaciones normales fallan.
Pseudoinversa de un sistema sobredeterminado.
A = [[1,0], b = (1, 2, 4)
[1,1],
[1,2]]
3 ecuaciones, 2 incógnitas → sobredeterminado
A⁺ = [[ 0.8333, 0.3333, −0.1667],
[−0.5, 0, 0.5 ]]
A⁺b = (0.8333, 1.5)
Coincide con las ecuaciones normales ✓
A⁺A = I (rango completo por columnas) ✓Pseudoinversa de Moore-Penrose para sistemas sobredeterminados.
python classes/part-06-algebra-lineal-ii-descomposiciones-y-tensores/134-pseudoinversa-de-moore-penrose/lab.py
compmath run 134A_shapesistema_sobredeterminadoA⁺A⁺bsolucion_por_ecuaciones_normalescoincidenA⁺A{
"A_shape": [
3,
2
],
"sistema_sobredeterminado": true,
"A⁺": [
[
0.833333,
0.333333,
-0.166667
],
[
-0.5,
0.0,
0.5
]
],
"A⁺b": [
0.833333,
1.5
],
"solucion_por_ecuaciones_normales": [
0.833333,
1.5
],
"coinciden": true
}Mínimos cuadrados con rango deficiente, regularización truncada, cinemática inversa en robótica y resolución de sistemas indeterminados.
LoRA factoriza matrices de bajo rango, la atención se define con productos tensoriales y la estabilidad del entrenamiento depende del espectro de los pesos.
numpy.linalg.pinv — Álgebra lineal: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en NumPy developers (2026-08-19).