Inicio · Parte 06 — Álgebra lineal II: descomposiciones y tensores
v = Σ cᵢ bᵢ con bᵢ los vectores de la base
coordenadas: c = B⁻¹v, donde B tiene las bᵢ por columnasLa confusión más persistente del álgebra lineal es identificar un vector con su lista de números. La lista son sus coordenadas en una base concreta, casi siempre la canónica, y cambiar de base cambia la lista sin cambiar el objeto. El vector (3,1) es el mismo punto del plano se mire desde donde se mire.
Calcular las coordenadas en otra base es resolver un sistema: si B es la matriz cuyas columnas son los vectores de la nueva base, las coordenadas c cumplen Bc = v. Que ese sistema tenga solución única es exactamente la condición de que los vectores formen base: independientes y generadores.
La utilidad de cambiar de base es que algunos problemas son triviales en la base correcta. Una matriz cualquiera es difícil de elevar a la centésima potencia; en la base de sus autovectores es diagonal y basta elevar números. Ese es el programa completo de las clases 125 y 126.
En machine learning el cambio de base es omnipresente aunque no se nombre: PCA cambia a la base de componentes principales, la transformada de Fourier cambia a la base de frecuencias, y una capa de embedding cambia de la base «one-hot» a una base densa aprendida. Todas son la misma operación.
El mismo vector en dos bases.
base canónica: (3, 1)
nueva base: b₁ = (1,1), b₂ = (1,−1)
Resolver B·c = v:
[[1, 1], [c₁] [3]
[1,−1]] [c₂] = [1]
c = (2, 1)
Comprobación: 2·(1,1) + 1·(1,−1) = (3,1) ✓
El vector no cambió; cambió su lista de coordenadas.Las coordenadas dependen de la base elegida.
python classes/part-06-algebra-lineal-ii-descomposiciones-y-tensores/121-bases-y-coordenadas/lab.py
compmath run 121vector_en_base_canonicabase_alternativacoordenadas_en_la_nueva_basereconstruccionel_vector_no_cambialo_que_cambiabase_es_independiente{
"vector_en_base_canonica": [
3.0,
1.0
],
"base_alternativa": [
[
1.0,
1.0
],
[
1.0,
-1.0
]
],
"coordenadas_en_la_nueva_base": [
2.0,
1.0
],
"reconstruccion": [
3.0,
1.0
],
"el_vector_no_cambia": true,
"lo_que_cambia": "su lista de coordenadas"
}PCA, transformada de Fourier, embeddings, cambio de sistema de referencia en robótica y cualquier representación alternativa de los mismos datos.
LoRA factoriza matrices de bajo rango, la atención se define con productos tensoriales y la estabilidad del entrenamiento depende del espectro de los pesos.
9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).