Inicio · Parte 06 — Álgebra lineal II: descomposiciones y tensores
q(x) = xᵀAx
∇q = 2Ax (A simétrica)
máx y mín sobre ‖x‖=1: mayor y menor autovalorUna forma cuadrática es un polinomio homogéneo de grado dos escrito matricialmente. Su geometría la determinan los autovalores de A: si todos son positivos, las curvas de nivel son elipses; si hay signos mixtos, hiperbolas; si alguno es cero, la forma es degenerada en esa dirección.
Los ejes de las elipses son los autovectores y sus longitudes dependen de los autovalores. Cuanto más dispares sean los autovalores, más alargadas son las elipses, y esa excentricidad es exactamente el número de condición. Ese es el vínculo entre álgebra lineal y velocidad de convergencia: el descenso de gradiente zigzaguea en valles alargados (clase 244).
El gradiente de una forma cuadrática es 2Ax cuando A es simétrica, y ese es el ejemplo canónico de derivada matricial (clase 177). Igualar a cero da Ax = 0, lo que confirma que el único punto crítico de una forma definida positiva es el origen, y es un mínimo.
Los valores extremos sobre la esfera unitaria son el mayor y el menor autovalor, resultado conocido como cociente de Rayleigh. Es lo que hace que la primera componente principal maximice la varianza proyectada (clase 135): maximizar xᵀΣx con ‖x‖=1 da el autovector dominante.
Forma cuadrática con matriz definida positiva.
A = [[4,1],[1,3]]
q(x) = 4x₁² + 2x₁x₂ + 3x₂²
valores en cuatro direcciones unitarias:
(1,0) → 4
(0,1) → 3
(1,1) → 10
(1,−1) → 6
Extremos sobre ‖x‖ = 1:
mínimo = λ_min = 2.3820
máximo = λ_max = 4.6180
Gradiente en (1,1): 2A(1,1) = (10, 8)
Curvas de nivel: elipses (A es definida positiva)La forma cuadrática xᵀAx y sus curvas de nivel.
python classes/part-06-algebra-lineal-ii-descomposiciones-y-tensores/128-formas-cuadraticas/lab.py
compmath run 128Aformavaloresminimo_en_la_esfera_unitariamaximo_en_la_esfera_unitariacurvas_de_nivelgradiente_es_2Ax{
"A": [
[
4.0,
1.0
],
[
1.0,
3.0
]
],
"forma": "q(x) = 4x₁² + 2x₁x₂ + 3x₂²",
"valores": {
"(1,0)": 4.0,
"(0,1)": 3.0,
"(1,1)": 9.0,
"(1,-1)": 5.0
},
"minimo_en_la_esfera_unitaria": 2.38196601,
"maximo_en_la_esfera_unitaria": 4.61803399,
"curvas_de_nivel": "elipses porque A es definida positiva"
}Función objetivo de mínimos cuadrados, energía en física, análisis de curvatura y diagnóstico de velocidad de convergencia en optimización.
LoRA factoriza matrices de bajo rango, la atención se define con productos tensoriales y la estabilidad del entrenamiento depende del espectro de los pesos.
9780387400655 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).