Inicio · Parte 06 — Álgebra lineal II: descomposiciones y tensores
A ≻ 0 ⟺ xᵀAx > 0 para todo x ≠ 0 ⟺ todos los λᵢ > 0
criterio de Sylvester: todos los menores principales positivosUna matriz simétrica es definida positiva si su forma cuadrática es siempre positiva salvo en el origen. Las tres caracterizaciones —forma cuadrática, autovalores y menores principales— son equivalentes, y cada una es la más cómoda en un contexto distinto.
Esta propiedad es la que hace «bien portados» a los objetos donde aparece. Una matriz de covarianza es siempre semidefinida positiva, porque su forma cuadrática es la varianza de una combinación lineal, que no puede ser negativa. Un Hessiano definido positivo en un punto crítico garantiza que es un mínimo (clase 169). Una matriz de Gram de un kernel válido debe ser semidefinida positiva, y esa es la condición de Mercer (clase 290).
La distinción entre definida y semidefinida importa: semidefinida permite autovalores nulos, lo que significa direcciones planas. Una covarianza semidefinida pero no definida indica que hay una combinación lineal de las variables con varianza cero, es decir, dependencia lineal exacta entre features.
Numéricamente, la comprobación robusta no es calcular autovalores sino intentar la factorización de Cholesky: existe si y solo si la matriz es definida positiva, y cuesta la mitad que una LU. Es lo que hacen las bibliotecas para comprobar la condición.
Una definida positiva y una indefinida.
A = [[4,1],[1,3]] autovalores 4.618, 2.382 → todos > 0 ✓ definida positiva
B = [[1,2],[2,1]] autovalores 3, −1 → signos mixtos ✗ indefinida
Forma cuadrática con x = (1,−1):
xᵀBx = 1 − 2 − 2 + 1 = −2 < 0 ✗ confirma que B no es definida positiva
Criterio de Sylvester para A:
menor 1×1: 4 > 0 ✓
menor 2×2: det = 11 > 0 ✓Definida positiva: todos los autovalores positivos, xᵀAx > 0.
python classes/part-06-algebra-lineal-ii-descomposiciones-y-tensores/127-matrices-positivas-definidas/lab.py
compmath run 127A_definida_positivaautovalores_Atodos_positivosB_indefinidaautovalores_BxᵀBx_con_x=(1,-1)criterio_de_Sylvester_Auso{
"A_definida_positiva": [
[
4.0,
1.0
],
[
1.0,
3.0
]
],
"autovalores_A": [
4.61803399,
2.38196601
],
"todos_positivos": true,
"B_indefinida": [
[
1.0,
2.0
],
[
2.0,
1.0
]
],
"autovalores_B": [
3.0,
-1.0
],
"xᵀBx_con_x=(1,-1)": -2.0
}Matrices de covarianza, condición de mínimo en optimización, kernels válidos, métodos de Newton y muestreo de gaussianas multivariantes por Cholesky.
LoRA factoriza matrices de bajo rango, la atención se define con productos tensoriales y la estabilidad del entrenamiento depende del espectro de los pesos.
9780511804441 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9781283741392 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).