Parte 03 · Clase 26 de 830

ARQ-026 · Funciones, gráficos y sensibilidad

Parte 03 · Clase desarrollada · Incorporada en v0.3.0 · 21 de septiembre de 2026.

Material de estudio con casos originales. Revisión externa especializada pendiente. La numeración organiza conocimientos, no un calendario.

Pregunta central

¿Cómo convertir una decisión de diseño en una relación que permita comparar alternativas sin esconder sus supuestos?

Qué aprenderás y qué entregarás

Construirás y leerás funciones sencillas, distinguirás dominio matemático de dominio físico y analizarás sensibilidad absoluta y relativa. Entregarás una tabla de alternativas, un gráfico que puedas dibujar a mano y un comentario sobre lo que ese gráfico no demuestra.

No necesitas dominar cálculo diferencial. Aquí comenzamos comparando valores; la derivada aparecerá en ARQ-027 como una manera de estudiar cambios locales.

1. Una función responde una pregunta delimitada

Una función asigna una salida a cada entrada admitida. No es solamente una fórmula: debe identificarse qué representa cada variable y qué valores están permitidos. OpenStax desarrolla los conceptos de función, dominio y representación [MATH-FUN]. En arquitectura, esos conceptos permiten preguntar qué cambia al variar una dimensión o una propiedad manteniendo otras condiciones fijas.

Por ejemplo, A(l)=3·l puede representar el área de un recinto de ancho fijo 3 m y largo l. La salida está en m² si l se expresa en metros. No representa todos los recintos posibles: el ancho se fijó como parte del problema. Una función útil no tiene que explicarlo todo; tiene que explicar con claridad qué relación estudia.

Distingue tres categorías. La variable de decisión es aquello que se modifica deliberadamente. El parámetro se mantiene fijo durante una comparación, aunque pueda revisarse después. El resultado es lo que calcula el modelo. Si las tres cambian simultáneamente, no podrás atribuir el efecto a una sola decisión.

2. Caso trabajado: repartir una fachada ideal

Considera una fachada plana de 80 m². Una parte será opaca y otra acristalada. Llamamos a al área de acristalamiento, en m². Adoptamos valores ficticios de transmitancia: Uop=0,5 W/(m²·K) y Uvid=2,5 W/(m²·K).

La contribución opaca al coeficiente de transferencia es 0,5·(80-a). La del vidrio es 2,5·a. Sumándolas:

H(a)=0,5·(80-a)+2,5·a=40+2·a, en W/K.

La relación de transferencia estacionaria a través de una envolvente se estudia como modelo introductorio de conducción [PHY-HEAT]. Aquí la suma es una elaboración del caso, que excluye puentes térmicos, infiltración, radiación solar, marcos y variaciones temporales. No estamos calculando la demanda energética completa del edificio.

Con una diferencia térmica fija de 15 K, la potencia de transferencia ideal es P(a)=15·H(a)=600+30·a, en W. El dominio geométrico es 0≤a≤80. Valores negativos de vidrio o superiores a la fachada carecen de sentido en esta definición.

3. Leer una tabla antes de interpretar el gráfico

Calcula las salidas para cuatro alternativas:

La tabla debe leerse como una comparación condicionada: con esos valores ficticios de U y esa diferencia de temperaturas, sustituir opaco por vidrio aumenta la transferencia de calor del modelo. No demuestra que toda superficie vidriada sea inconveniente. Falta estudiar luz, vistas, ganancias solares, uso, orientación, costo, mantenimiento y otros objetivos.

El gráfico coloca a en el eje horizontal y P en el vertical. Etiqueta ambos con unidades. El punto (10,900) significa 10 m² de vidrio y 900 W calculados; no una temperatura de 900 grados ni un consumo de 900 kWh. La interpretación incorrecta de ejes puede arruinar una comparación cuya aritmética es perfecta.

4. Pendiente: cuánto cambia la salida

Entre 10 y 15 m² de vidrio, P pasa de 900 a 1.050 W. El cambio es 150 W ante un aumento de 5 m². La sensibilidad media es 150/5=30 W/m².

En esta función lineal la sensibilidad es constante. Cada metro cuadrado sustituido agrega la misma diferencia porque ambos valores de U se mantuvieron fijos y no introdujimos efectos adicionales. Una recta no es una propiedad inevitable del fenómeno real; surge de las hipótesis elegidas.

También existe una sensibilidad a la diferencia térmica: para a=10 m², P=60·ΔT. Cada kelvin adicional agrega 60 W. Es otro experimento: ahora variamos ΔT, no la superficie. Debes señalar qué entrada estás perturbando para que la palabra sensibilidad no resulte ambigua.

5. Cambio absoluto y cambio relativo no son equivalentes

Aumentar vidrio de 10 a 15 m² es un incremento del 50 % en a. La potencia sube de 900 a 1.050 W, es decir, 16,667 %. El cociente entre cambios relativos finitos es aproximadamente 0,16667/0,5=0,3333.

¿Por qué no aumenta también 50 % la potencia? Porque P tiene una contribución inicial de 600 W independiente de a dentro del modelo. Confundir proporcionalidad con cualquier relación lineal llevaría a una interpretación errónea. y=kx es proporcional; y=b+kx, con b distinto de cero, no lo es.

Cerca de un punto, una sensibilidad relativa permite comparar entradas con unidades distintas. Pero pierde utilidad cuando el denominador se acerca a cero: no puedes calcular un porcentaje de aumento respecto de una superficie inicial nula sin reformular la comparación.

6. Una relación no lineal: espesor de aislación

Considera ahora otro modelo, separado del anterior. Un paño de 30 m² tiene una resistencia fija R0=0,50 m²·K/W. Se agrega una capa ideal de espesor d y conductividad ficticia k=0,04 W/(m·K). Con ΔT=20 K, la potencia resulta:

P(d)=30·20/(0,50+d/0,04).

No debe mezclarse d en centímetros con k expresada por metro. Para 2 cm usamos d=0,02 m. Entonces la resistencia total es 1,00 y P=600 W. Con 4 cm, la resistencia es 1,50 y P=400 W. Con 8 cm, la resistencia es 2,50 y P=240 W.

Los primeros 2 cm adicionales, de 2 a 4 cm, reducen 200 W. Los 4 cm siguientes, de 4 a 8 cm, reducen 160 W. El beneficio absoluto no crece proporcionalmente al material añadido bajo estas hipótesis. La tabla permite reconocer rendimientos decrecientes sin haber calculado una derivada.

No uses esta función para elegir por sí sola un espesor de obra. Faltan humedad, comportamiento al fuego, continuidad, estructura, costos y exigencias aplicables. El objetivo es aprender a leer una dependencia no lineal.

7. Dominio físico y límites del modelo

Matemáticamente podríamos evaluar valores negativos de d mientras el denominador no fuera cero. Físicamente no se admite un espesor negativo en este caso. Incluso algunos valores positivos pueden ser constructivamente incompatibles con el sistema considerado.

La función predice que P tiende a cero cuando d crece sin límite. Eso describe su comportamiento matemático, no la posibilidad práctica de eliminar todas las pérdidas de un edificio agregando aislación. Otros caminos de transferencia excluidos del modelo pueden dominar cuando mejoramos este paño.

Esta distinción ayuda a reconocer un error de optimización: buscar el mínimo de una sola fórmula sin conservar las restricciones y los demás objetivos. Una alternativa puede mejorar un indicador y empeorar accesibilidad, durabilidad o costo. El gráfico no contiene juicios que nunca se incluyeron en sus variables.

8. Interpolación, extrapolación y datos observados

Si tienes mediciones para espesores de 2, 4 y 8 cm, interpolar consiste en estimar dentro de ese intervalo. Extrapolar sería estimar, por ejemplo, 30 cm. Ambas operaciones requieren un modelo; estar dentro del intervalo no garantiza que la relación sea lineal.

Además, una nube de puntos observados no es automáticamente una función causal. Dos edificios con más vidrio pueden consumir cantidades distintas porque cambian clima, equipos y uso. Para estudiar el efecto de una variable necesitas justificar qué otras diferencias controlaste o reconocer que la comparación no permite aislarlo.

En los ejemplos de esta clase la causalidad está limitada al modelo: definimos la ecuación y variamos una entrada. No afirmamos haber observado un conjunto de edificios reales. El gráfico debe rotularse como cálculo hipotético y no como resultado experimental.

9. Sensibilidad con varias entradas

Para comparar espesores de aislación también importa cuánto confiamos en k. Con d=0,04 m y R0=0,50, usar k=0,035 da una resistencia aproximada de 1,6429 y una potencia de 365,22 W. Usar k=0,045 da resistencia 1,3889 y potencia 432 W.

Ese intervalo no es un intervalo estadístico: solo describe dos escenarios de entrada. El tratamiento metrológico de incertidumbres y sensibilidades requiere explicar la información de cada variable [MET-COMB]. En ARQ-029 se desarrollará ese paso.

Por ahora aprende a preguntar si la conclusión cambia. Si dos alternativas difieren muy poco y el resultado depende mucho de un parámetro incierto, no basta presentar más decimales. Puede ser más útil obtener un dato mejor, comparar rangos o reconocer que aún no puedes elegir por ese indicador.

Práctica independiente

Problema A. En una fachada ficticia de 60 m², adopta Uop=0,4, Uvid=2,0 en W/(m²·K) y ΔT=10 K. Construye H(a) y P(a). Evalúa 5 y 15 m² de vidrio y calcula sensibilidad absoluta respecto de a.

Problema B. Para P(d)=600/(0,50+d/0,04), calcula la potencia con d=0,06 m. Compara la reducción de 4 a 6 cm con la reducción de 6 a 8 cm.

Problema C. Alguien grafica el consumo de tres edificios y concluye que duplicar vidrio duplica consumo. Escribe dos preguntas que pondrían a prueba esa afirmación y una condición bajo la que una extrapolación sería particularmente débil.

Autoevaluación y transferencia

Presenta cada función con unidades, dominio y variables fijadas. Incluye al menos un contraejemplo de una conclusión que el gráfico no permite. Puedes avanzar cuando distingues una comparación del modelo de una afirmación sobre edificios reales y explicas el significado de la pendiente sin reducirlo a «la recta sube».

Decisión pedagógica y posición curricular

Por qué existe

Esta clase existe para resolver una necesidad concreta del recorrido: ¿Cómo convertir una decisión de diseño en una relación que permita comparar alternativas sin esconder sus supuestos?

Por qué está exactamente aquí

Ocupa el lugar 6 de la Parte 03. Se estudia después de ARQ-025 · Vectores, fuerzas y momentos porque usa esa base para responder «¿Cómo convertir una decisión de diseño en una relación que permita comparar alternativas sin esconder sus supuestos?». Se ubica antes de ARQ-027 · Derivadas e integrales como herramientas de interpretación porque la evidencia producida aquí debe estar disponible para ese paso.

• Prerrequisitos: ARQ-025
• Capacidad que introduce: Construirás y leerás funciones sencillas, distinguirás dominio matemático de dominio físico y analizarás sensibilidad absoluta y relativa. Entregarás una tabla de alternativas, un gráfico que puedas dibujar a mano y un comentario sobre lo que ese gráfico no demuestra. No necesitas dominar cálculo diferencial.
• Clases o experiencias que dependen de ella: ARQ-804, ARQ-811, ARQ-027

flowchart LR
    A["Prerrequisitos · ARQ-025"] --> B["ARQ-026 · necesidad y fundamento"]
    S["Fuentes · Organismo: OpenStax / Rice University. Consulta: 2026-09-21. + PHY-HEAT University Physics Volume 2, 1.6 Mechanisms of…"] --> B
    B --> C["Actividad auténtica"]
    C --> D["Evidencia auditable"]
    D --> E["Continuidad · ARQ-804, ARQ-811, ARQ-027"]

El diagrama permite comprobar una relación que el texto lineal oculta con facilidad: esta clase recibe capacidades previas, toma decisiones apoyadas por fuentes, exige una experiencia y produce evidencia que habilita trabajo posterior. No representa un procedimiento de obra.

Resultado observable, evidencia y evaluación

1. Identificar y delimitar las condiciones necesarias para responder la pregunta central de funciones, gráficos y sensibilidad.
2. Producir y comprobar la evidencia declarada por la clase: Construirás y leerás funciones sencillas, distinguirás dominio matemático de dominio físico y analizarás sensibilidad absoluta y relativa. Entregarás una tabla de alternativas, un gráfico que puedas dibujar a mano y un comentario sobre lo que ese gráfico no demuestra. No necesitas dominar cálculo diferencial.
3. Justificar una decisión de funciones, gráficos y sensibilidad mediante fuentes, supuestos, alternativas y límites explícitos.

Actividad, evidencia y criterio de aceptación

Actividad: Problema A. En una fachada ficticia de 60 m², adopta Uop=0,4 , Uvid=2,0 en W/(m²·K) y ΔT=10 K . Construye H(a) y P(a).

Evidencia mínima: Construirás y leerás funciones sencillas, distinguirás dominio matemático de dominio físico y analizarás sensibilidad absoluta y relativa. Entregarás una tabla de alternativas, un gráfico que puedas dibujar a mano y un comentario sobre lo que ese gráfico no demuestra. No necesitas dominar cálculo diferencial.

Archivo sugerido: evidence/ARQ-026/evidencia.md.

Criterio de aceptación: la entrega se acepta cuando:

• La entrega responde explícitamente a la pregunta: ¿Cómo convertir una decisión de diseño en una relación que permita comparar alternativas sin esconder sus supuestos?
• La actividad conserva las fronteras del caso y permite reconstruir el procedimiento: Problema A. En una fachada ficticia de 60 m², adopta Uop=0,4 , Uvid=2,0 en W/(m²·K) y ΔT=10 K . Construye H(a) y P(a).
• Cada afirmación externa puede seguirse hasta una fuente, su alcance consultado y su límite.
• La evidencia deja disponible una entrada comprobable para ARQ-804.
• Presenta cada función con unidades, dominio y variables fijadas. Incluye al menos un contraejemplo de una conclusión que el gráfico no permite.

La rúbrica común complementa estos criterios; no los reemplaza. Una entrega puede superar un promedio y continuar pendiente si oculta una condición crítica.

Trazabilidad de las decisiones

La tabla permite auditar las relaciones; la explicación, el caso y la práctica de la clase siguen siendo la documentación principal.

Autoevaluación, recuperación y continuidad

Errores diagnósticos

Antes de avanzar, comprueba si puedes reconstruir cada resultado sin mirar la solución, señalar qué evidencia lo sostiene y nombrar una condición que obligaría a revisar tu decisión. Conserva la primera versión, la objeción recibida y la revisión.

Conexión siguiente: La continuidad inmediata es ARQ-027 · Derivadas e integrales como herramientas de interpretación; conserva el método y vuelve a verificar datos y límites.

Fuentes y alcance de uso

Las referencias identifican apoyos conceptuales. Los escenarios, cifras y soluciones del capítulo son elaboraciones didácticas originales, no datos de una obra ni ejemplos copiados de estas fuentes.

[MATH-FUN] Calculus Volume 1, 1.1: Review of Functions

Organismo: OpenStax / Rice University. Consulta: 2026-09-21.

https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/1-1-review-of-functions

Alcance consultado: Sección web; definiciones de función, dominio y representación.

Apoyo: Diferenciar variable, dependencia funcional y dominio.

Límites: Las funciones arquitectónicas numéricas son modelos originales y ficticios.

[PHY-HEAT] University Physics Volume 2, 1.6 Mechanisms of Heat Transfer

Organismo: OpenStax / Rice University. Consulta: 2026-09-20.

https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/1-6-mechanisms-of-heat-transfer

Alcance consultado: Capítulo abierto.

Apoyo: Conducción, convección, radiación y significado de conductividad.

Límites: Los ejemplos de este programa son originales; sus propiedades numéricas son supuestos didácticos, no datos de producto.

[MET-COMB] Combining uncertainty components

Organismo: National Institute of Standards and Technology. Consulta: 2026-09-21.

https://physics.nist.gov/cuu/Uncertainty/combination.html

Alcance consultado: Guía web oficial.

Apoyo: Propagación mediante sensibilidades y covarianzas.

Límites: Se usa una aproximación de primer orden; no se afirma automáticamente una cobertura del 95 %.