Parte 03 · Clase 27 de 830

ARQ-027 · Derivadas e integrales como herramientas de interpretación

Parte 03 · Clase desarrollada · Incorporada en v0.3.0 · 21 de septiembre de 2026.

Material de estudio con casos originales. Revisión externa especializada pendiente. La numeración organiza conocimientos, no un calendario.

Pregunta central

¿Qué podemos saber de una forma, una carga o un consumo cuando dejan de ser constantes?

Qué aprenderás y qué entregarás

Interpretarás una derivada como cambio local y una integral como acumulación. Resolverás una pendiente variable, la resultante de una carga distribuida y una energía obtenida de potencia cambiante. Entregarás las operaciones con unidades, un control geométrico y una advertencia específica sobre el alcance de cada modelo.

La meta no es memorizar reglas de cálculo. Es comprender qué pregunta responde cada operación y cómo reconocer cuándo una respuesta matemáticamente correcta no resuelve el problema arquitectónico.

1. La diferencia entre cambio medio y cambio local

Si una altura h cambia a lo largo de una distancia x, el cociente Δh/Δx representa una pendiente media entre dos puntos. Dos perfiles pueden compartir los extremos y tener pendientes locales muy distintas. Una línea recta y una curva pronunciada al final pueden producir el mismo cociente total.

La derivada formaliza el cambio local como límite del cociente incremental cuando la separación entre puntos se hace pequeña [MATH-DER]. No es una nueva unidad de altura: sus unidades resultan de dividir la unidad de salida por la de entrada. Para una altura en metros respecto de una distancia horizontal en metros, la derivada es una razón adimensional.

En un perfil, el signo indica si la altura aumenta o disminuye en la orientación elegida. El valor absoluto informa cuán pronunciado es el cambio local dentro del modelo. No determina por sí solo transitabilidad ni cumplimiento de pendientes reglamentarias.

2. Derivar una curva desde su definición

Considera un perfil geométrico ficticio:

h(x)=0,02·x²+0,10·x, para 0≤x≤4 m.

Usamos x en metros y h en metros. El coeficiente 0,02 tiene unidad 1/m; 0,10 es adimensional. Escribir las unidades de los coeficientes evita sumar términos incompatibles.

Entre x y x+Δx, el cambio de altura es 0,02·[(x+Δx)²-x²]+0,10·Δx. Al desarrollar el cuadrado resulta 0,04·x·Δx+0,02·(Δx)²+0,10·Δx.

Dividiendo por Δx, que todavía no es cero, obtenemos 0,04·x+0,02·Δx+0,10. Cuando Δx tiende a cero, desaparece el término que contiene Δx. La derivada es:

h'(x)=0,04·x+0,10.

En x=2 m vale 0,18, equivalente a una pendiente geométrica local de 18 %. No significa 18 grados. Tampoco significa que ese perfil sea admisible para una rampa: el ejercicio no proporciona una norma, un uso ni una solución constructiva.

3. Comprobar con puntos cercanos

Calcula h(2)=0,28 m y h(2,1)=0,2982 m. La pendiente media entre ambos puntos es 0,0182/0,1=0,182. Si acortas el intervalo a 0,01 m, el cociente resulta 0,1802. Se aproxima a 0,18, como anticipó la derivada.

Esta comprobación también enseña por qué no debes dividir por cero para «obtener el límite». Se estudia el comportamiento de cocientes definidos para separaciones distintas de cero. El límite no es una instrucción de sustituir inmediatamente Δx por cero en la fracción original.

La segunda derivada de este perfil es h''(x)=0,04 1/m. Describe cómo aumenta la pendiente con x. Una pendiente constante tendría segunda derivada nula; una altura constante tendría además primera derivada nula. Distinguir altura, pendiente y cambio de pendiente permite leer formas sin confundir sus niveles de información.

4. La integral nace de sumar contribuciones pequeñas

Ahora cambia la pregunta. En lugar de saber qué ocurre localmente, queremos acumular algo distribuido. Si dividimos una viga en tramos pequeños, cada tramo aporta aproximadamente q(x)·Δx de fuerza, cuando q es carga por longitud.

Al sumar y refinar las subdivisiones aparece la integral definida. Su interpretación como acumulación y área con signo se desarrolla en OpenStax [MATH-INT]. Las unidades acompañan la operación: (kN/m)×m=kN. Si integráramos una potencia en kW respecto de horas, el resultado sería kWh.

El término «área bajo la curva» no significa necesariamente metros cuadrados. El dibujo tiene una geometría visual, pero las unidades físicas dependen de los ejes. Un gráfico carga-distancia produce fuerza; un gráfico potencia-tiempo produce energía.

5. Caso trabajado: una carga que crece a lo largo de la luz

Considera una viga ideal de 4 m con carga descendente q(x)=2+x, expresada en kN/m al usar x en metros. El coeficiente de x tiene unidad kN/m². La carga pasa de 2 kN/m en el inicio a 6 kN/m en el extremo.

La resultante es Q=∫₀⁴(2+x)dx=[2x+x²/2]₀⁴=8+8=16 kN. Se interpreta como la fuerza total equivalente para el equilibrio global.

Comprobación geométrica: separa un rectángulo de altura 2 y base 4, de área 8 kN, y un triángulo de base 4 y altura 4, de área 8 kN. Su suma también es 16 kN. Esta segunda vía permite descubrir errores de integración o de unidades.

Pero falta la posición de la resultante. Colocarla automáticamente en el centro supondría una simetría que la distribución no tiene.

6. El primer momento ubica la resultante

El momento global de la carga respecto del extremo izquierdo es M=∫₀⁴x·q(x)dx. Sustituyendo:

M=∫₀⁴(2x+x²)dx=[x²+x³/3]₀⁴=16+64/3=37,333 kN·m.

Para que una fuerza única Q produzca ese mismo momento debe cumplirse Q·x̄=M. Por tanto, x̄=37,333/16=2,333 m. La resultante está desplazada hacia la zona más cargada.

El control geométrico usa las dos figuras anteriores. El rectángulo aporta 8×2=16 kN·m. El triángulo creciente actúa a dos tercios de la base desde su extremo de menor altura: 8×(8/3)=21,333 kN·m. Sumados, producen el mismo momento.

Si la viga tiene los dos apoyos ideales de ARQ-025, la reacción derecha sería 37,333/4=9,333 kN; la izquierda, 16-9,333=6,667 kN. No hemos calculado esfuerzos locales, deformaciones ni capacidad resistente. La integración resolvió una equivalencia global, no todo el problema estructural.

7. Una potencia variable no se multiplica por cualquier tiempo

Supón una potencia ideal P(t)=1+0,5t kW, con t en horas, durante cuatro horas. La energía es E=∫₀⁴P(t)dt=[t+0,25t²]₀⁴=8 kWh.

Puedes comprobarla por geometría: una base constante de 1 kW durante 4 h aporta 4 kWh. El aumento lineal de 0 a 2 kW aporta un triángulo de 4 kWh. La potencia media es 2 kW, y 2×4=8 kWh.

Multiplicar la potencia final, 3 kW, por las cuatro horas daría 12 kWh. Eso asumiría que estuvo operando a 3 kW todo el tiempo. Multiplicar la inicial daría 4 kWh y también representaría otra historia. La integral conserva la variación temporal que esos atajos borran.

8. Acumulación con signo y cantidad total

Sea un perfil ficticio z(x)=x-2, entre 0 y 4 m, que cruza un nivel de referencia. La integral con signo es cero: el área negativa entre 0 y 2 compensa la positiva entre 2 y 4. Sin embargo, la suma de sus magnitudes es 4 m².

Esta diferencia importa al interpretar balances. Un saldo neto nulo no implica ausencia de movimientos. No puedes usar una compensación matemática para afirmar que no existen excavaciones y rellenos, consumos y aportes o flujos en sentidos opuestos. Primero debes definir qué cantidad necesita el problema.

Para obtener una cantidad geométrica positiva a ambos lados del nivel, se integra el valor absoluto o se separan los intervalos. Para un balance neto se conservan signos. La elección pertenece a la formulación, no a la calculadora.

9. Buscar un extremo no equivale a encontrar el mejor proyecto

Un rectángulo con área fija de 96 m² y ancho x tiene largo 96/x. Su perímetro es P(x)=2x+192/x, con x>0. La derivada es P'(x)=2-192/x². Igualarla a cero da x=√96≈9,798 m, que produce un cuadrado y un perímetro aproximado de 39,192 m.

Como P''(x)=384/x³ es positiva para x>0, ese punto es un mínimo del modelo. Pero si el sitio limita el ancho a 6 m, el cuadrado no pertenece al dominio admisible. Dentro de 0<x≤6, el perímetro disminuye al aumentar x y el mínimo permitido está en x=6 m, con largo 16 m y perímetro 44 m.

Aun este mínimo restringido solo optimiza perímetro. No demuestra mejor iluminación, circulación, estructura, costo o calidad espacial. Una derivada responde a la función que elegiste; no incorpora objetivos ausentes.

10. Límites de derivar datos y perfiles quebrados

Una esquina geométrica puede no tener una derivada única: al aproximarse por la izquierda y la derecha aparecen pendientes diferentes. No conviene suavizarla automáticamente si la discontinuidad representa un encuentro real que debe resolverse.

Al trabajar con mediciones, diferencias pequeñas entre valores pueden contener ruido. Dividir ese ruido por un intervalo muy pequeño puede producir pendientes aparentes enormes. En ARQ-029 y ARQ-030 se distinguirán incertidumbre de medición, aproximación numérica y fidelidad del modelo. Más resolución de cálculo no corrige un dato mal obtenido.

Práctica independiente

Problema A. Para h(x)=0,01x²+0,05x, determina la pendiente local en x=5 m. Calcula también la pendiente media de 4 a 6 m y explica la coincidencia o diferencia.

Problema B. Para q(x)=3+0,5x kN/m entre 0 y 2 m, calcula fuerza total y punto de aplicación. Comprueba mediante rectángulo y triángulo.

Problema C. Una potencia constante de 2 kW funciona durante 1 h y luego baja linealmente hasta cero durante 2 h. Calcula la energía y explica por qué no basta sumar las potencias de los extremos.

Autoevaluación y transferencia

Antes de cada operación escribe qué buscas: cambio local, fuerza acumulada, posición equivalente, energía o extremo de una función. Tu trabajo debe explicar unidades y comprobar al menos un resultado con geometría. La práctica queda incompleta si solo aparecen antiderivadas sin interpretación física.

Decisión pedagógica y posición curricular

Por qué existe

Esta clase existe para resolver una necesidad concreta del recorrido: ¿Qué podemos saber de una forma, una carga o un consumo cuando dejan de ser constantes?

Por qué está exactamente aquí

Ocupa el lugar 7 de la Parte 03. Se estudia después de ARQ-026 · Funciones, gráficos y sensibilidad porque usa esa base para responder «¿Qué podemos saber de una forma, una carga o un consumo cuando dejan de ser constantes?». Se ubica antes de ARQ-028 · Energía, potencia y conservación porque la evidencia producida aquí debe estar disponible para ese paso.

• Prerrequisitos: ARQ-026
• Capacidad que introduce: Interpretarás una derivada como cambio local y una integral como acumulación. Resolverás una pendiente variable, la resultante de una carga distribuida y una energía obtenida de potencia cambiante. Entregarás las operaciones con unidades, un control geométrico y una advertencia específica sobre el alcance de cada modelo.
• Clases o experiencias que dependen de ella: ARQ-028, ARQ-046, ARQ-185

flowchart LR
    A["Prerrequisitos · ARQ-026"] --> B["ARQ-027 · necesidad y fundamento"]
    S["Fuentes · Organismo: OpenStax / Rice University. Consulta: 2026-09-21. + Organismo: OpenStax / Rice University. Consulta:…"] --> B
    B --> C["Actividad auténtica"]
    C --> D["Evidencia auditable"]
    D --> E["Continuidad · ARQ-028, ARQ-046, ARQ-185"]

El diagrama permite comprobar una relación que el texto lineal oculta con facilidad: esta clase recibe capacidades previas, toma decisiones apoyadas por fuentes, exige una experiencia y produce evidencia que habilita trabajo posterior. No representa un procedimiento de obra.

Resultado observable, evidencia y evaluación

1. Identificar y delimitar las condiciones necesarias para responder la pregunta central de derivadas e integrales como herramientas de interpretación.
2. Producir y comprobar la evidencia declarada por la clase: Interpretarás una derivada como cambio local y una integral como acumulación. Resolverás una pendiente variable, la resultante de una carga distribuida y una energía obtenida de potencia cambiante. Entregarás las operaciones con unidades, un control geométrico y una advertencia específica sobre el alcance de cada modelo.
3. Justificar una decisión de derivadas e integrales como herramientas de interpretación mediante fuentes, supuestos, alternativas y límites explícitos.

Actividad, evidencia y criterio de aceptación

Actividad: Problema A. Para h(x)=0,01x²+0,05x , determina la pendiente local en x=5 m. Calcula también la pendiente media de 4 a 6 m y explica la coincidencia o diferencia.

Evidencia mínima: Interpretarás una derivada como cambio local y una integral como acumulación. Resolverás una pendiente variable, la resultante de una carga distribuida y una energía obtenida de potencia cambiante. Entregarás las operaciones con unidades, un control geométrico y una advertencia específica sobre el alcance de cada modelo.

Archivo sugerido: evidence/ARQ-027/evidencia.md.

Criterio de aceptación: la entrega se acepta cuando:

• La entrega responde explícitamente a la pregunta: ¿Qué podemos saber de una forma, una carga o un consumo cuando dejan de ser constantes?
• La actividad conserva las fronteras del caso y permite reconstruir el procedimiento: Problema A. Para h(x)=0,01x²+0,05x , determina la pendiente local en x=5 m. Calcula también la pendiente media de 4 a 6 m y explica la coincidencia o diferencia.
• Cada afirmación externa puede seguirse hasta una fuente, su alcance consultado y su límite.
• La evidencia deja disponible una entrada comprobable para ARQ-028.
• Antes de cada operación escribe qué buscas: cambio local, fuerza acumulada, posición equivalente, energía o extremo de una función. Tu trabajo debe explicar unidades y comprobar al menos un resultado con geometría.

La rúbrica común complementa estos criterios; no los reemplaza. Una entrega puede superar un promedio y continuar pendiente si oculta una condición crítica.

Trazabilidad de las decisiones

La tabla permite auditar las relaciones; la explicación, el caso y la práctica de la clase siguen siendo la documentación principal.

Autoevaluación, recuperación y continuidad

Errores diagnósticos

Antes de avanzar, comprueba si puedes reconstruir cada resultado sin mirar la solución, señalar qué evidencia lo sostiene y nombrar una condición que obligaría a revisar tu decisión. Conserva la primera versión, la objeción recibida y la revisión.

Conexión siguiente: La continuidad inmediata es ARQ-028 · Energía, potencia y conservación; conserva el método y vuelve a verificar datos y límites.

Fuentes y alcance de uso

Las referencias identifican apoyos conceptuales. Los escenarios, cifras y soluciones del capítulo son elaboraciones didácticas originales, no datos de una obra ni ejemplos copiados de estas fuentes.

[MATH-DER] Calculus Volume 1, 3.1: Defining the Derivative

Organismo: OpenStax / Rice University. Consulta: 2026-09-21.

https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-1-defining-the-derivative

Alcance consultado: Sección web; cociente incremental y derivada.

Apoyo: Interpretación local de tasa de cambio.

Límites: No se adaptan los ejercicios ni la secuencia del libro; se desarrollan deducciones propias.

[MATH-INT] Calculus Volume 1, 5.2: The Definite Integral

Organismo: OpenStax / Rice University. Consulta: 2026-09-21.

https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-2-the-definite-integral

Alcance consultado: Sección web; integral definida.

Apoyo: Acumulación y área con signo.

Límites: No convierte una integral de un modelo ideal en un estudio de terreno.