Parte 21 · Clase 207 de 830

ARQ-207 · Estructuras tensadas y neumáticas

Parte 21 · Clase desarrollada · Incorporada en v0.13.0.

Prerrequisitos conceptuales: ARQ-206. Sin calendario. Los parámetros, ensayos y casos son didácticos y ficticios; no dimensionan una obra ni acreditan seguridad. Revisión externa especializada pendiente.

Pregunta central

¿Cómo depende la estabilidad de un sistema tensado de su geometría y estado de tensión, y por qué una membrana o un cable no pueden analizarse como una viga simplemente más liviana?

Resultado y continuidad

ARQ-206 estudió una forma curva comprimida. Ahora construiremos CAB-01, un cable ideal entre apoyos a igual altura, y MEM-01, una membrana esférica bajo presión diferencial uniforme. Son modelos independientes, no partes conectadas de HALL. Derivarás fuerzas, longitud de una forma prescrita y resultante de membrana, indicando qué información falta para definir una configuración real o sus estados operativos.

1. La tracción necesita una forma compatible

Un cable ideal flexible transmite tracción, pero no momento flector ni compresión. Para equilibrar una carga transversal cambia de dirección a lo largo de su forma. No puede sustituirse una línea recta por un cable y conservar automáticamente el comportamiento de la viga que ocupaba ese lugar.

La forma, la longitud disponible, la elasticidad, las cargas y los apoyos deben ser compatibles. Elegir una flecha geométrica y una fuerza de tensión no son decisiones independientes bajo un mismo estado. Una modificación de temperatura o longitud puede cambiar el equilibrio.

En una membrana, las resultantes se distribuyen dentro de una superficie y pueden depender de dos direcciones. La forma tridimensional, sus bordes y el estado de tensión son parte de la estructura. Un dibujo curvo atractivo no demuestra que exista un estado de equilibrio compatible con las acciones previstas.

2. CAB-01: carga por proyección horizontal

Definimos luz L=12 m, flecha hacia abajo f=3 m y carga q=10 kN/m por metro de proyección horizontal. Los apoyos están a la misma altura. Se desprecia la variación por alargamiento axial al describir esta forma de equilibrio y no se añade peso propio por longitud curva.

Por simetría, cada reacción vertical tiene magnitud qL/2=60 kN. La componente horizontal H de la tensión es constante si no existen acciones horizontales distribuidas. Para el cable parabólico bajo esta carga, el equilibrio conduce a H=qL²/(8f)=60 kN.

La expresión coincide en magnitud con el empuje del arco funicular, pero cambia el tipo de fuerza interna y la forma respecto de los apoyos. No convierte un cable en un arco capaz de compresión, ni permite conservar el mismo sistema al invertir cualquier acción.

3. Recuperar la forma desde el equilibrio

Tomamos x desde el apoyo izquierdo y s(x) como descenso respecto de la línea de apoyos. La pendiente de la forma se relaciona con las componentes vertical y horizontal de la tensión. Integrando el equilibrio con s(0)=s(L)=0 se obtiene:

s(x) = q x(L−x)/(2H)
f = s(L/2) = qL²/(8H)

La pendiente es s'=q(L−2x)/(2H). Es positiva al inicio, cero en el centro y negativa al final. La tensión total no es H en todos los puntos: debe combinarse con su componente vertical local.

Esta parábola corresponde a carga constante por metro horizontal. Si el único peso está distribuido uniformemente por longitud del propio cable, la forma clásica es una catenaria, no exactamente la misma parábola. La distinción nace de cómo se mide la distribución, no de una preferencia estética.

4. Tensión máxima y efecto de la flecha

En el centro la componente vertical es cero y la tensión es H=60 kN. En los extremos, la componente vertical es 60 kN, de modo que Tmax=√(60²+60²)≈84,853 kN.

CAB-02 conserva L y q, pero reduce f a 1,5 m. H pasa a 120 kN y la tensión extrema a √(120²+60²)≈134,164 kN. Las reacciones verticales no cambian. Una forma más tensa visualmente y con menor descenso requiere mayor componente horizontal para esta familia de estados.

No se selecciona un cable a partir de esos valores. Faltan material, secciones, conexiones, variaciones de carga, efectos de deformación y criterios pertinentes. Tampoco se prescribe pretensión o un procedimiento de montaje: esas decisiones exigen un análisis del sistema y sus etapas.

5. Longitud geométrica y compatibilidad

La longitud curva no es L+f ni dos veces un triángulo. Para la parábola se calcula Sc=∫0ᴸ√[1+(s')²] dx. Definiendo a=4f/L, la integración da:

Sc = (L/2)√(1+a²) + [L/(2a)] asinh(a)

Para CAB-01, a=1 y Sc≈13,7735 m. Para CAB-02, a=0,5 y Sc≈12,4827 m. Ambas formas tienen los mismos doce metros entre apoyos, pero no la misma longitud curva.

Por eso no se puede reducir la flecha y conservar una longitud inextensible dada sin estudiar cómo cambia otra condición. Si el cable es elástico, la longitud bajo carga también depende de las fuerzas. La fórmula anterior calcula geometría de la forma prescrita; no resuelve simultáneamente longitud inicial, deformación y pretensión.

Figura 207. Menor flecha aumenta H bajo la misma carga horizontalmente distribuida. MEM-01 usa otra geometría y presión; no comparte las fuerzas del cable.

6. Redes y membranas: dirección de trabajo

Una red de cables puede organizar trayectorias en varias direcciones. Una membrana continua distribuye resultantes de superficie y requiere condiciones de borde. En ambos casos, el estado de tensión puede ser importante para mantener una configuración estable y limitar movimientos.

Una región que necesitaría compresión dentro de una idealización puramente flexible puede arrugarse o perder la forma supuesta. No se conserva una fuerza compresiva ficticia como si fuera tracción negativa admisible. Se requiere una formulación pertinente de material, geometría y estados.

Las acciones no son siempre uniformes. Cargas asimétricas, variación de presión o acumulaciones pueden cambiar la forma. Los apoyos y bordes reciben componentes que deben transferirse al resto de la estructura. El sistema aparentemente liviano no elimina la necesidad de anclajes y fundaciones investigados.

7. MEM-01: derivar una resultante esférica

Consideramos una esfera delgada ideal con radio r y presión interior mayor que la exterior en una cantidad p uniforme. Cortamos conceptualmente una mitad. La resultante de presión sobre esa mitad, en la dirección del corte, equivale a p multiplicado por el área proyectada πr².

La membrana alrededor del círculo transmite una fuerza lineal N, en N por metro. Su resultante en el corte es 2πrN. Equilibrando ambas magnitudes:

pπr² = 2πrN
N = pr/2

El equilibrio de membrana esférica se fundamenta en los apartados iniciales de [STR-MEMBRANE]. Aquí se expresa N como resultante por longitud, no como tensión material. Si se quisiera una tensión media habría que introducir un espesor y las hipótesis correspondientes.

Con p=0,5 kPa y r=8 m, N=2 kN/m. Si se duplica r manteniendo p, N se duplica a 4 kN/m. No permanece igual por conservar la misma presión: el área proyectada crece con r² y el contorno con r.

8. Presión diferencial, no presión absoluta

La acción normal depende de la diferencia entre presión interior y exterior bajo el modelo. Usar una presión absoluta como si fuera diferencial cambiaría enormemente el resultado. Además, una acción exterior no uniforme no se representa necesariamente mediante un único p constante.

Las estructuras soportadas por presión en un volumen ocupado y los elementos inflados que contienen aire en componentes propios no tienen exactamente la misma organización operativa. Requieren considerar equipos, cierres, alimentación, control y estados de pérdida de condiciones, según el sistema concreto.

La esfera ideal no incluye esas funciones. No calcula estabilidad ante pérdida de presión ni permite definir protocolos de ocupación o respuesta. El aprendizaje es reconocer que el estado operativo forma parte de la hipótesis estructural y que no debe suponerse permanente sin evaluación.

9. Agua, bordes y mantenimiento

La forma de una cubierta influye en cómo puede desplazarse o acumularse agua. Una deformación que modifica la pendiente puede alterar la distribución de carga y, a su vez, la deformación. Esa interacción requiere análisis y no se resuelve suponiendo siempre la forma inicial.

Los bordes y anclajes deben compatibilizar movimientos con cerramientos y elementos rígidos. También importan acceso de inspección, sustitución y comportamiento de materiales frente al ambiente. La clase no ofrece intervalos universales ni instrucciones para tensar componentes.

Un modelo de membrana pura puede ser apropiado para ciertas preguntas y dejar fuera flexión de piezas de borde, detalles de apoyo o arrugas. Su alcance se declara, en lugar de llamarlo «estructura completa» por tener una malla tridimensional visualmente continua.

10. Entrega comparativa y estados

El expediente de CAB conserva L, q, f, H, reacciones y longitud geométrica para cada variante. Debe explicar qué variable no se mantuvo al cambiar la forma. El de MEM conserva radio, presión diferencial y resultante, sin incorporar fuerzas del cable.

Ambos identifican estados que faltan: otras distribuciones, cambios térmicos, deformación material, conexiones y operación. La comparación puede justificar que una forma más plana exige estudiar mayores componentes horizontales; no determina por sí sola una solución aceptable.

La siguiente clase examinará otro modo de cooperación: piezas y materiales que trabajan conjuntamente mediante conexiones. También allí la transferencia depende de compatibilidad, no de que los elementos se toquen en un dibujo.

Práctica independiente

Un cable parabólico tiene L=10 m, f=2 m y q=4 kN/m por proyección horizontal. Calcula reacciones, H y tensión extrema. Repite con f=1 m, conservando L y q. Explica por qué no puedes afirmar que ambas formas corresponden al mismo cable inextensible de longitud fija.

Una esfera ideal tiene r=6 m y p=0,4 kPa diferencial uniforme. Calcula N. Luego duplica solo p y, en otra variante distinta, duplica solo r. Indica qué magnitud adicional necesitarías para convertir N en tensión media material.

Autoevaluación y enlace

Distingue carga por longitud horizontal y por longitud curva, componente horizontal y tensión total, presión y fuerza de membrana. Explica una condición operativa que el equilibrio ideal no demuestra. ARQ-208 estudiará acción conjunta, conexiones y prefabricación con el mismo cuidado por las hipótesis de transferencia.

Decisión pedagógica y posición curricular

Por qué existe

Esta clase existe para resolver una necesidad concreta del recorrido: ¿Cómo depende la estabilidad de un sistema tensado de su geometría y estado de tensión, y por qué una membrana o un cable no pueden analizarse como una viga simplemente más liviana?

Por qué está exactamente aquí

Ocupa el lugar 7 de la Parte 21. Se estudia después de ARQ-206 · Arcos, bóvedas y cascarones porque usa esa base para responder «¿Cómo depende la estabilidad de un sistema tensado de su geometría y estado de tensión, y por qué una membrana o un cable no pueden analizarse como una viga simplemente más liviana?». Se ubica antes de ARQ-208 · Sistemas mixtos y prefabricación porque la evidencia producida aquí debe estar disponible para ese paso.

• Prerrequisitos: ARQ-206
• Capacidad que introduce: ARQ-206 estudió una forma curva comprimida. Ahora construiremos CAB-01 , un cable ideal entre apoyos a igual altura, y MEM-01 , una membrana esférica bajo presión diferencial uniforme. Son modelos independientes, no partes conectadas de HALL.
• Clases o experiencias que dependen de ella: ARQ-208

flowchart LR
    A["Prerrequisitos · ARQ-206"] --> B["ARQ-207 · necesidad y fundamento"]
    S["Fuentes · STR-MEMBRANE Pressure Vessels"] --> B
    B --> C["Actividad auténtica"]
    C --> D["Evidencia auditable"]
    D --> E["Continuidad · ARQ-208"]

El diagrama permite comprobar una relación que el texto lineal oculta con facilidad: esta clase recibe capacidades previas, toma decisiones apoyadas por fuentes, exige una experiencia y produce evidencia que habilita trabajo posterior. No representa un procedimiento de obra.

Resultado observable, evidencia y evaluación

1. Identificar y delimitar las condiciones necesarias para responder la pregunta central de estructuras tensadas y neumáticas.
2. Producir y comprobar la evidencia declarada por la clase: ARQ-206 estudió una forma curva comprimida. Ahora construiremos CAB-01 , un cable ideal entre apoyos a igual altura, y MEM-01 , una membrana esférica bajo presión diferencial uniforme. Son modelos independientes, no partes conectadas de HALL.
3. Justificar una decisión de estructuras tensadas y neumáticas mediante fuentes, supuestos, alternativas y límites explícitos.

Actividad, evidencia y criterio de aceptación

Actividad: Un cable parabólico tiene L=10 m, f=2 m y q=4 kN/m por proyección horizontal. Calcula reacciones, H y tensión extrema. Repite con f=1 m, conservando L y q.

Evidencia mínima: ARQ-206 estudió una forma curva comprimida. Ahora construiremos CAB-01 , un cable ideal entre apoyos a igual altura, y MEM-01 , una membrana esférica bajo presión diferencial uniforme. Son modelos independientes, no partes conectadas de HALL.

Archivo sugerido: evidence/ARQ-207/evidencia.md.

Criterio de aceptación: la entrega se acepta cuando:

• La entrega responde explícitamente a la pregunta: ¿Cómo depende la estabilidad de un sistema tensado de su geometría y estado de tensión, y por qué una membrana o un cable no pueden analizarse como una viga simplemente más liviana?
• La actividad conserva las fronteras del caso y permite reconstruir el procedimiento: Un cable parabólico tiene L=10 m, f=2 m y q=4 kN/m por proyección horizontal. Calcula reacciones, H y tensión extrema. Repite con f=1 m, conservando L y q.
• Cada afirmación externa puede seguirse hasta una fuente, su alcance consultado y su límite.
• La evidencia deja disponible una entrada comprobable para ARQ-208.
• Distingue carga por longitud horizontal y por longitud curva, componente horizontal y tensión total, presión y fuerza de membrana. Explica una condición operativa que el equilibrio ideal no demuestra.

La rúbrica común complementa estos criterios; no los reemplaza. Una entrega puede superar un promedio y continuar pendiente si oculta una condición crítica.

Trazabilidad de las decisiones

La tabla permite auditar las relaciones; la explicación, el caso y la práctica de la clase siguen siendo la documentación principal.

Autoevaluación, recuperación y continuidad

Errores diagnósticos

Antes de avanzar, comprueba si puedes reconstruir cada resultado sin mirar la solución, señalar qué evidencia lo sostiene y nombrar una condición que obligaría a revisar tu decisión. Conserva la primera versión, la objeción recibida y la revisión.

Conexión siguiente: La continuidad inmediata es ARQ-208 · Sistemas mixtos y prefabricación; conserva el método y vuelve a verificar datos y límites.

Fuentes y alcance de uso

Los ejemplos, diagramas y desarrollos numéricos son originales. Las fuentes fundamentan los conceptos señalados, no los parámetros ficticios. Consulta de fuentes nuevas: 21 de septiembre de 2026. No se afirma lectura íntegra de normas o manuales cuando el alcance fue parcial.

[STR-MEMBRANE] Pressure Vessels

David Roylance / MIT OpenCourseWare. https://ocw.mit.edu/courses/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/082fcd712adffa589a670f9f8dfdd49a_MIT3_11F99_pv.pdf

Consulta: Equilibrio de membrana esférica, páginas 1–2. Apoyo: Derivación por corte de la resultante N=pr/2 bajo presión uniforme. Límite: Referencia mecánica, no instrucciones para fabricar estructuras presurizadas.