Parte 20 · Clase 199 de 830

ARQ-199 · Modelos, discretización y error de idealización

Parte 20 · Clase desarrollada · Incorporada en v0.13.0.

Prerrequisitos conceptuales: ARQ-198, ARQ-193. Sin calendario. Los parámetros, ensayos y casos son didácticos y ficticios; no dimensionan una obra ni acreditan seguridad. Revisión externa especializada pendiente.

Pregunta central

¿Qué representa realmente una malla de cálculo, y por qué aumentar el número de elementos no garantiza que el modelo describa mejor el problema que se desea resolver?

Resultado y continuidad

Usaremos equilibrio, elasticidad y compatibilidad de las clases anteriores para construir un modelo discreto de dos barras axiales. MEF-01 recupera, con identificador propio, el ejercicio de dos tramos de ARQ-193: cada uno mide un metro, con áreas 400 y 200 mm², E=200.000 N/mm² y fuerza final 24 kN. Su finalidad es hacer visible cada entrada, ecuación y comprobación. No se presenta como un modelo tridimensional de edificio.

1. Idealización y discretización son decisiones diferentes

Idealizar consiste en elegir qué fenómenos y relaciones se representan: barra axial, viga, placa, conexión rígida o apoyo elástico, entre otros. Discretizar consiste en expresar ese modelo mediante un número finito de variables. Una malla muy fina de barras axiales sigue sin representar por sí sola flexión local de una conexión.

El modelo incluye geometría, leyes materiales, acciones, restricciones y variables de salida. Si alguno no corresponde al problema, una solución numérica precisa puede responder otra pregunta. Por eso la convergencia de una malla debe distinguirse de la adecuación de la idealización.

La introducción de elementos finitos de Roylance presenta formulación y ensamblaje de barras [STR-FEA]. Nuestra construcción utilizará solo desplazamientos longitudinales y álgebra pequeña, para que el resultado pueda comprobarse a mano. La complejidad de un programa no sustituye la comprensión de sus grados de libertad.

2. Un elemento axial con dos extremos

Una barra de longitud L, área A y módulo E tiene desplazamientos u1 y u2 en sus extremos. Su alargamiento es δ=u2−u1. Bajo deformación uniforme, la fuerza normal es N=(EA/L)(u2−u1).

Las fuerzas nodales que equilibran el elemento se representan como f1=−N y f2=N. Definiendo k=EA/L:

f1 =  k u1 − k u2
f2 = −k u1 + k u2

La matriz elemental tiene filas [k,−k] y [−k,k]. Si ambos nodos se desplazan la misma cantidad, el elemento no se alarga y sus fuerzas son cero. Esa invariancia es una comprobación física importante: una traslación rígida no debería crear deformación axial en este modelo.

La relación no define por sí sola apoyos o cargas. Describe la conexión entre fuerzas y desplazamientos de un elemento aislado. Las condiciones del conjunto aparecen al ensamblar y restringir grados de libertad.

3. Ensamblar MEF-01

Numeramos nodos 0,1 y 2 a lo largo de la barra. El nodo 0 está fijo; el 1 es la unión de tramos; el 2 recibe 24 kN hacia la derecha. Los dos elementos comparten un único desplazamiento u1: esa igualdad expresa compatibilidad en la unión.

El primer tramo tiene k1=200.000×400/1.000=80.000 N/mm=80 kN/mm. El segundo tiene k2=40 kN/mm. En el nodo compartido se suman las contribuciones de ambos. La matriz completa, en kN/mm, tiene filas:

[ 80   −80     0 ]
[−80   120   −40 ]
[  0   −40    40 ]

No se suman arbitrariamente matrices de distinto tamaño: se ubica cada contribución según los nodos que conecta. Una numeración equivocada puede producir un sistema algebraicamente resoluble que une piezas distintas de las dibujadas.

4. Aplicar restricciones y resolver

Como u0=0, quedan dos incógnitas. El nodo 1 no tiene fuerza exterior; el nodo 2 tiene 24 kN. El sistema reducido es:

120 u1 − 40 u2 = 0
−40 u1 + 40 u2 = 24

La primera ecuación da u2=3u1. Sustituyendo en la segunda, 80u1=24, de donde u1=0,30 mm y u2=0,90 mm. La fuerza del primer elemento es 80×0,30=24 kN; la del segundo es 40×(0,90−0,30)=24 kN.

El apoyo reacciona con −24 kN, obtenido de la primera fila de la matriz completa. No debe exigirse que el residuo de esa fila sea cero frente a una fuerza exterior inicialmente omitida: allí se calcula precisamente la reacción desconocida. En los grados libres sí se comprueba equilibrio con las fuerzas aplicadas.

5. Verificar por caminos independientes

La solución directa de ARQ-193 calculaba alargamientos NL/(EA):0,30 y 0,60 mm. Su suma 0,90 coincide con u2. Las tensiones son 60 y 120 MPa. La igualdad de fuerza no significa igualdad de tensión ni deformación unitaria.

La energía elástica es U=½Σki δi². Resulta ½×80×0,30² + ½×40×0,60² = 3,6+7,2=10,8 kN·mm, equivalentes a 10,8 J. También U=½F u2=½×24×0,90=10,8. Ambas rutas comprueban consistencia de un sistema lineal cargado proporcionalmente.

Un programa podría mostrar u2 correcto por coincidencia y fuerzas internas incorrectas si interpretara mal las longitudes. Por eso conviene comprobar desplazamientos, equilibrio, deformación y energía, no únicamente un número final.

Figura 199. El desplazamiento del nodo 1 pertenece a los dos elementos. El alargamiento del segundo es u2−u1, no u2.

6. Promediar geometría puede cambiar la solución

Si alguien sustituye los dos tramos por una barra uniforme de área media aritmética 300 mm² y longitud 2.000 mm, obtiene δ=24.000×2.000/(200.000×300)=0,80 mm. Es distinto de 0,90. No hay un error de resolución: se cambió la distribución de área.

Para reproducir la flexibilidad axial de estos tramos en serie, el área equivalente debe satisfacer Ltotal/Aeq=ΣLi/Ai, cuando E es común. Aquí Aeq≈266,667 mm². Esa equivalencia reproduce el desplazamiento final para la fuerza axial considerada, pero no conserva las tensiones de cada tramo.

Añadir cien elementos todos con 300 mm² no arregla el cambio de geometría. Convergerán a la solución del modelo uniforme equivocado respecto del caso original. Este es un ejemplo concreto de error de idealización que no desaparece refinando la malla.

7. Un ejemplo donde sí hay error de aproximación espacial

En MEF-VAR-01 se define otra barra: L=2.000 mm, A0=200 mm² y A(x)=A0(1+x/L). Se mantienen E y fuerza 24 kN. La deformación exacta dentro del modelo axial se obtiene integrando:

δ = ∫0ᴸ P/[E A(x)] dx
δ = [P L/(E A0)] ln 2
δ ≈ 0,831777 mm

Aproximemos cada tramo mediante el área en su punto medio. Con un elemento, la respuesta es 0,800000 mm. Con dos, aproximadamente 0,822857 mm; al aumentar subdivisiones se aproxima al valor de la integral. El cambio observado ahora corresponde a cómo se aproxima una geometría previamente definida, no a una nueva barra.

La comparación necesita conservar cargas, restricciones y método. Si al refinar también cambia el área, el apoyo o una carga nodal, no puede atribuirse toda diferencia a discretización. La secuencia de resultados debe documentarse junto con esas condiciones.

8. Singularidad, mecanismos y apoyos artificiales

Sin fijar el nodo 0, la matriz completa permite trasladar los tres nodos una misma cantidad sin deformar elementos. Ese movimiento rígido provoca falta de unicidad. Con una fuerza neta no equilibrada, tampoco existe el equilibrio estático requerido.

Añadir un resorte minúsculo solo para eliminar el aviso numérico puede ocultar esa falta de restricción. El resultado pasaría a depender de una rigidez que no representa una condición real. Es legítimo estudiar regularizaciones con un alcance explícito, pero no presentarlas como reparación automática de una estructura mal vinculada.

También existen sistemas mal condicionados: pequeñas perturbaciones de datos pueden afectar mucho la solución. No todo aviso significa un error del programa. Puede revelar escalas incompatibles, mecanismos, conectividad deficiente o parámetros extremos que deben investigarse.

9. Malla, resultados locales y límites

Algunos resultados globales pueden estabilizarse mientras una tensión localizada crece cerca de una singularidad idealizada. No debe definirse convergencia mirando solo el color máximo de una imagen. Hay que elegir magnitudes de interés, ubicaciones, normas de comparación y una interpretación física.

Una esquina perfectamente aguda, una carga puntual o un apoyo rígido pueden introducir comportamientos matemáticos que requieren lectura cuidadosa. La solución puede ser útil para unas preguntas y no para otras. Refinar no convierte una idealización puntual en el detalle real de reparto de la carga.

Para modelos complejos conviene contrastar subcasos simples, balancear cargas y reacciones, revisar formas deformadas y conservar unidades y versiones. La verificación numérica es necesaria, pero no valida por sí sola que se hayan representado todos los mecanismos relevantes.

Práctica independiente

En MEF-01 cambia solo la fuerza final a 18 kN. Resuelve desplazamientos, fuerzas y energía, manteniendo áreas, longitudes y E. Después analiza una variante distinta en la que ambos tramos tienen 400 mm² y vuelve a 24 kN. Compara ambos resultados sin mezclar cambios.

Para MEF-VAR-01, explica qué datos deben conservarse en una secuencia de refinamiento. Evalúa la afirmación: «Con diez mil elementos el modelo es necesariamente correcto». Por último, identifica el movimiento que queda sin restringir al retirar el apoyo del nodo 0.

Solución razonada

Con 18 kN, u1=0,225 mm y u2=0,675 mm. Los alargamientos son 0,225 y 0,450; ambas fuerzas internas 18 kN. U=½×18×0,675=6,075 J. La energía se reduce con el cuadrado de la fuerza, no linealmente, en este sistema lineal.

Con ambas áreas 400 y 24 kN, cada tramo se alarga 0,30 mm; u2=0,60. No es 0,675 porque se comparan variantes diferentes. El sistema reducido cambia su coeficiente del nodo 1: ahora intervienen dos rigideces de 80 kN/mm.

El refinamiento de la barra variable debe mantener A(x), E, P, restricciones y regla de representación. Muchos elementos no corrigen una ley equivocada, una conexión inexistente ni una magnitud mal convertida. Sin apoyo permanece una traslación axial rígida común; una malla más fina también conserva ese movimiento.

Autoevaluación y enlace

Puedes ensamblar una matriz pequeña, explicar sus filas y verificar resultados sin depender de una interfaz gráfica. Separa error de discretización, idealización y datos. ARQ-200 utilizará esos controles para leer críticamente un informe de resultados y redactar una revisión que indique qué se ha comprobado y qué continúa pendiente.

Decisión pedagógica y posición curricular

Por qué existe

Esta clase existe para resolver una necesidad concreta del recorrido: ¿Qué representa realmente una malla de cálculo, y por qué aumentar el número de elementos no garantiza que el modelo describa mejor el problema que se desea resolver?

Por qué está exactamente aquí

Ocupa el lugar 9 de la Parte 20. Se estudia después de ARQ-198 · Dinámica, período, amortiguamiento y resonancia porque usa esa base para responder «¿Qué representa realmente una malla de cálculo, y por qué aumentar el número de elementos no garantiza que el modelo describa mejor el problema que se desea resolver?». Se ubica antes de ARQ-200 · Lectura de resultados sin delegar el juicio al software porque la evidencia producida aquí debe estar disponible para ese paso.

Prerrequisitos: ARQ-198, ARQ-193
Capacidad que introduce: Usaremos equilibrio, elasticidad y compatibilidad de las clases anteriores para construir un modelo discreto de dos barras axiales. MEF-01 recupera, con identificador propio, el ejercicio de dos tramos de ARQ-193: cada uno mide un metro, con áreas 400 y 200 mm², E=200.000 N/mm² y fuerza final 24 kN. Su finalidad es hacer visible cada entrada, ecuación y comprobación.
Clases o experiencias que dependen de ella: ARQ-200, ARQ-209, ARQ-215

flowchart LR
    A["Prerrequisitos · ARQ-198, ARQ-193"] --> B["ARQ-199 · necesidad y fundamento"]
    S["Fuentes · STR-FEA Finite Element Analysis"] --> B
    B --> C["Actividad auténtica"]
    C --> D["Evidencia auditable"]
    D --> E["Continuidad · ARQ-200, ARQ-209, ARQ-215"]

El diagrama permite comprobar una relación que el texto lineal oculta con facilidad: esta clase recibe capacidades previas, toma decisiones apoyadas por fuentes, exige una experiencia y produce evidencia que habilita trabajo posterior. No representa un procedimiento de obra.

Resultado observable, evidencia y evaluación

Identificar y delimitar las condiciones necesarias para responder la pregunta central de modelos, discretización y error de idealización.
Producir y comprobar la evidencia declarada por la clase: Usaremos equilibrio, elasticidad y compatibilidad de las clases anteriores para construir un modelo discreto de dos barras axiales. MEF-01 recupera, con identificador propio, el ejercicio de dos tramos de ARQ-193: cada uno mide un metro, con áreas 400 y 200 mm², E=200.000 N/mm² y fuerza final 24 kN. Su finalidad es hacer visible cada entrada, ecuación y comprobación.
Justificar una decisión de modelos, discretización y error de idealización mediante fuentes, supuestos, alternativas y límites explícitos.

Actividad, evidencia y criterio de aceptación

Actividad: En MEF-01 cambia solo la fuerza final a 18 kN. Resuelve desplazamientos, fuerzas y energía, manteniendo áreas, longitudes y E. Después analiza una variante distinta en la que ambos tramos tienen 400 mm² y vuelve a 24 kN.

Evidencia mínima: Usaremos equilibrio, elasticidad y compatibilidad de las clases anteriores para construir un modelo discreto de dos barras axiales. MEF-01 recupera, con identificador propio, el ejercicio de dos tramos de ARQ-193: cada uno mide un metro, con áreas 400 y 200 mm², E=200.000 N/mm² y fuerza final 24 kN. Su finalidad es hacer visible cada entrada, ecuación y comprobación.

Archivo sugerido: evidence/ARQ-199/evidencia.md.

Criterio de aceptación: la entrega se acepta cuando:

La entrega responde explícitamente a la pregunta: ¿Qué representa realmente una malla de cálculo, y por qué aumentar el número de elementos no garantiza que el modelo describa mejor el problema que se desea resolver?
La actividad conserva las fronteras del caso y permite reconstruir el procedimiento: En MEF-01 cambia solo la fuerza final a 18 kN. Resuelve desplazamientos, fuerzas y energía, manteniendo áreas, longitudes y E. Después analiza una variante distinta en la que ambos tramos tienen 400 mm² y vuelve a 24 kN.
Cada afirmación externa puede seguirse hasta una fuente, su alcance consultado y su límite.
La evidencia deja disponible una entrada comprobable para ARQ-200.
Si alguien sustituye los dos tramos por una barra uniforme de área media aritmética 300 mm² y longitud 2.000 mm, obtiene δ=24.000×2.000/(200.000×300)=0,80 mm . Es distinto de 0,90.

La rúbrica común complementa estos criterios; no los reemplaza. Una entrega puede superar un promedio y continuar pendiente si oculta una condición crítica.

Trazabilidad de las decisiones

#	Decisión o fundamento	Fuente utilizada	Aplicación y límite en esta clase
1	Conectar grados de libertad, compatibilidad y equilibrio discretizado.	STR-FEA Finite Element Analysis	Consulta: Formulación axial, matriz de rigidez y ensamblaje; secciones iniciales, no todos los ejemplos. Límite: El ejemplo propio de dos barras no valida un programa comercial ni un edificio.

La tabla permite auditar las relaciones; la explicación, el caso y la práctica de la clase siguen siendo la documentación principal.

Autoevaluación, recuperación y continuidad

Errores diagnósticos

Antes de avanzar, comprueba si puedes reconstruir cada resultado sin mirar la solución, señalar qué evidencia lo sostiene y nombrar una condición que obligaría a revisar tu decisión. Conserva la primera versión, la objeción recibida y la revisión.

Conexión siguiente: La continuidad inmediata es ARQ-200 · Lectura de resultados sin delegar el juicio al software; conserva el método y vuelve a verificar datos y límites.

Fuentes y alcance de uso

Los ejemplos, diagramas y desarrollos numéricos son originales. Las fuentes fundamentan los conceptos señalados, no los parámetros ficticios. Consulta de fuentes nuevas: 21 de septiembre de 2026. No se afirma lectura íntegra de normas o manuales cuando el alcance fue parcial.

[STR-FEA] Finite Element Analysis

David Roylance / MIT OpenCourseWare. https://ocw.mit.edu/courses/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/812a432c72099369788f78fb344eb047_MIT3_11F99_fea.pdf

Consulta: Formulación axial, matriz de rigidez y ensamblaje; secciones iniciales, no todos los ejemplos. Apoyo: Conectar grados de libertad, compatibilidad y equilibrio discretizado. Límite: El ejemplo propio de dos barras no valida un programa comercial ni un edificio.