Parte 20 · Clase 198 de 830

ARQ-198 · Dinámica, período, amortiguamiento y resonancia

Parte 20 · Clase desarrollada · Incorporada en v0.13.0.

Prerrequisitos conceptuales: ARQ-197, ARQ-028. Sin calendario. Los parámetros, ensayos y casos son didácticos y ficticios; no dimensionan una obra ni acreditan seguridad. Revisión externa especializada pendiente.

Pregunta central

¿Por qué una fuerza oscilante puede producir una respuesta muy distinta de la que sugiere su valor estático, y qué cambia al modificar masa, rigidez o amortiguamiento?

Resultado y continuidad

ARQ-197 organizó acciones por casos. Añadiremos una dependencia temporal mediante DIN-01, un oscilador ideal de un grado de libertad. Derivarás frecuencia natural, período y amplitud estacionaria bajo fuerza armónica. No es un edificio real, un espectro sísmico ni una predicción de terremotos. Las propiedades de terreno de GEO y las rigideces de otros ejercicios no se incorporan aquí.

1. Tres contribuciones al equilibrio dinámico

Una masa m se desplaza una distancia u, un resorte ejerce una fuerza proporcional a u y un amortiguador viscoso una fuerza proporcional a la velocidad. Aplicando equilibrio dinámico con una fuerza exterior F(t), se obtiene m u'' + c u' + k u = F(t).

Los términos representan inercia, amortiguamiento y restitución elástica. Sus unidades deben coincidir: kg·m/s², N·s/m por m/s y N/m por m entregan newtons. c no tiene la misma unidad que k. El desplazamiento u representa una coordenada definida, no cualquier movimiento de un edificio.

La ecuación supone parámetros constantes y comportamiento lineal. No incluye holguras, plasticidad, impacto, pérdida de contacto ni cambios geométricos importantes. Esas condiciones exigirían otro modelo. El propósito es comprender relaciones antes de introducir más grados de libertad.

2. Frecuencia natural y período

Sin amortiguamiento y sin fuerza aplicada, la ecuación es m u''+ku=0. Una solución sinusoidal satisface la relación ωn²=k/m. Por tanto, la frecuencia angular natural es ωn=√(k/m), en radianes por segundo; la frecuencia en ciclos por segundo es fn=ωn/(2π) y el período Tn=2π/ωn.

DIN-01 utiliza m=10.000 kg y k=1.000.000 N/m. Se obtiene ωn=10 rad/s, fn≈1,592 Hz y Tn≈0,6283 s. No deben confundirse diez rad/s con diez Hz: difieren por 2π. La oscilación elemental y su período ya se introdujeron en [PHY-OSC].

Si se duplica la masa manteniendo k, Tn se multiplica por√2. Si k se cuadruplica manteniendo m, Tn se reduce a la mitad. Son comparaciones de parámetros; no significan que añadir cualquier muro multiplique por cuatro la rigidez efectiva de un edificio.

3. Qué mide el amortiguamiento relativo

Para el modelo viscoso, el amortiguamiento crítico es ccr=2√(km). Definimos ζ=c/ccr. En DIN-01, ccr=200.000 N·s/m. Adoptando ζ=0,05 resulta c=10.000 N·s/m.

ζ es adimensional. No representa un porcentaje universal de energía perdida en cada ciclo para cualquier amplitud y mecanismo. Es un parámetro de esta ecuación. La representación de pérdidas reales puede requerir identificación experimental, otra ley o una equivalencia cuyo alcance debe justificarse.

En vibración libre subamortiguada, la amplitud disminuye y la frecuencia amortiguada es ωd=ωn√(1−ζ²). No es exactamente ωn, aunque para valores pequeños la diferencia puede ser modesta. Una medición de período y una estimación de amortiguamiento deben conservar método y condiciones, no elegirse para conseguir un resultado deseado.

4. Respuesta forzada: derivar una amplitud

Aplicamos F(t)=F0 sen(Ωt) y buscamos solo la parte estacionaria, después de que la contribución transitoria se haya atenuado suficientemente en el modelo. Proponemos u(t)=A sen(Ωt−φ). Al sustituir y relacionar componentes en fase y en cuadratura, la amplitud resulta:

A = F0 / √[(k−mΩ²)² + (cΩ)²]

Dividimos numerador y denominador por k y definimos r=Ω/ωn. Así:

A = (F0/k) D
D = 1 / √[(1−r²)² + (2ζr)²]

F0/k es el desplazamiento estático para una fuerza constante de magnitud F0. D compara amplitud dinámica estacionaria y ese desplazamiento. La respuesta forzada y la resonancia se apoyan en [STR-FORCED]; la derivación y los datos de este caso son propios.

La fase también importa. Debe determinarse considerando el cuadrante de las componentes, no usando una tangente inversa sin contexto. A frecuencias altas, la respuesta puede estar casi en oposición de fase con la fuerza; una imagen estática no revela esa relación temporal.

5. DIN-01 cerca de la frecuencia natural

Con F0=1.000 N, el desplazamiento estático es 0,001 m, un milímetro. Si Ω=10 rad/s, r=1 y el denominador adimensional queda en 2ζ=0,10. Por tanto D=10 y A=10 mm.

La fuerza máxima aplicada sigue siendo mil newtons. La respuesta no se obtuvo multiplicando la fuerza por un «factor sísmico» normativo, sino resolviendo una ecuación armónica concreta. El modelo requiere excitación sostenida y una condición estacionaria; una acción breve puede no alcanzar esa amplitud.

Al aumentar ζ a 0,10 y ajustar c coherentemente, D a r=1 pasa a 5. Si ζ fuese cero y r=1, no existe una amplitud estacionaria finita de esta forma: aparece resonancia no amortiguada y debe estudiarse la solución temporal. No corresponde informar «infinito milímetros» como predicción física.

6. El máximo de amplitud no siempre está exactamente en r=1

El denominador al cuadrado es (1−r²)²+4ζ²r². Al derivarlo respecto de r, aparte de r=0 aparece r²=1−2ζ². Para el caso en que existe ese máximo de desplazamiento, la frecuencia de pico es ligeramente menor que la natural no amortiguada.

Con ζ=0,05, r de pico≈0,9975. En muchas explicaciones introductorias se aproxima a uno, pero la distinción muestra que «resonancia» necesita indicar qué respuesta se maximiza. Aceleración, velocidad y desplazamiento no tienen necesariamente máximos en la misma relación de frecuencias.

No se utiliza esta precisión para aparentar mayor conocimiento del edificio. DIN-01 tiene parámetros exactos por definición didáctica; en una estructura real sus incertidumbres pueden ser más importantes que esos decimales.

Figura 198. Curvas estacionarias para ζ=0,05 y 0,10. Son respuestas a fuerza armónica, no espectros sísmicos de diseño.

7. Cambiar rigidez conservando una excitación

En DIN-02 se mantiene m y la fuerza F0 sen(10t), pero k pasa a 4.000.000 N/m. Se conserva ζ=0,05, lo cual exige cambiar también c a 20.000 N·s/m. No se está manteniendo el mismo amortiguador físico.

Ahora ωn=20 rad/s y r=0,5. D≈1,3304. Como F0/k=0,25 mm, A≈0,3326 mm. La disminución respecto de diez mm tiene dos causas: menor desplazamiento estático y cambio de la relación entre excitación y frecuencia natural.

Si se conservara c=10.000 en vez de ζ, el amortiguamiento relativo sería 0,025 y la cuenta cambiaría. Una comparación debe declarar cuáles parámetros permanecen constantes. «Aumentar rigidez» no es una instrucción suficiente para reconstruirla.

8. Movimiento de base no es fuerza exterior idéntica

Para una base que se desplaza ug(t), podemos definir u como desplazamiento de la masa relativo a esa base. Bajo las hipótesis del oscilador, la ecuación relativa toma la forma m u''+c u'+ku=−m ug''. La aceleración de base introduce una excitación inercial.

Aunque se parezca a una fuerza, no debe confundirse desplazamiento relativo con absoluto. El absoluto es u+ug, y sus aceleraciones también se suman. Una amplificación obtenida para fuerza aplicada no se convierte automáticamente en amplificación de aceleración absoluta de un terremoto.

Un edificio tiene varias formas de vibrar, distribución de masas, torsión y posibles respuestas no lineales. Un espectro resume respuestas de osciladores bajo condiciones definidas; no predice un sismo. Esta clase prepara la comprensión, pero no adopta un espectro, una amenaza local ni un procedimiento normativo.

9. Usar el resultado para formular preguntas de proyecto

Un equipo periódico puede requerir estudiar frecuencias de operación, apoyos, estados de arranque y compatibilidad con pisos. Cambiar su ubicación puede alterar transferencia y participación modal. Conocer solo la masa total no basta para describir esos efectos.

Una modificación estructural puede cambiar frecuencias y formas, no únicamente resistencia. Por ello conviene coordinar vibración con uso, instalaciones y elementos sensibles. El resultado de DIN-01 no es un límite de confort ni un criterio para operar maquinaria; es un ejemplo de cómo organizar las preguntas.

La entrega debe incluir ecuación, coordenada, parámetros, condición inicial o estacionaria, tipo de excitación y magnitud de salida. Una curva sin esas etiquetas puede parecer convincente y ser imposible de interpretar.

Práctica independiente

Un oscilador tiene m=5.000 kg, k=800.000 N/m y ζ=0,10. Calcula ωn, Tn y c. Se aplica una fuerza armónica de amplitud 800 N. Obtén amplitud estacionaria para Ω=ωn y para Ω=0,5ωn.

Luego alguien utiliza el segundo resultado como «desplazamiento máximo durante cualquier sismo». Explica tres diferencias entre lo que se calculó y esa afirmación. Finalmente indica qué cambiaría si se estudiara el instante de arranque en lugar del régimen estacionario.

Autoevaluación y enlace

Distingue rad/s de Hz, masa de peso, amortiguamiento dimensional de ζ y respuesta estacionaria de transitoria. Reconstruye una comparación sin cambiar parámetros en silencio. ARQ-199 dividirá sistemas en grados de libertad y mostrará cómo se ensamblan ecuaciones sin perder continuidad entre piezas.

Decisión pedagógica y posición curricular

Por qué existe

Esta clase existe para resolver una necesidad concreta del recorrido: ¿Por qué una fuerza oscilante puede producir una respuesta muy distinta de la que sugiere su valor estático, y qué cambia al modificar masa, rigidez o amortiguamiento?

Por qué está exactamente aquí

Ocupa el lugar 8 de la Parte 20. Se estudia después de ARQ-197 · Acciones permanentes, variables y excepcionales porque usa esa base para responder «¿Por qué una fuerza oscilante puede producir una respuesta muy distinta de la que sugiere su valor estático, y qué cambia al modificar masa, rigidez o amortiguamiento?». Se ubica antes de ARQ-199 · Modelos, discretización y error de idealización porque la evidencia producida aquí debe estar disponible para ese paso.

• Prerrequisitos: ARQ-197, ARQ-028
• Capacidad que introduce: ARQ-197 organizó acciones por casos. Añadiremos una dependencia temporal mediante DIN-01 , un oscilador ideal de un grado de libertad. Derivarás frecuencia natural, período y amplitud estacionaria bajo fuerza armónica.
• Clases o experiencias que dependen de ella: ARQ-199, ARQ-219, ARQ-264

flowchart LR
    A["Prerrequisitos · ARQ-197, ARQ-028"] --> B["ARQ-198 · necesidad y fundamento"]
    S["Fuentes · PHY-OSC University Physics Volume 1, 15.1 Simple Harmonic Motion + STR-FORCED University Physics Volume 1, 15.6:…"] --> B
    B --> C["Actividad auténtica"]
    C --> D["Evidencia auditable"]
    D --> E["Continuidad · ARQ-199, ARQ-219, ARQ-264"]

El diagrama permite comprobar una relación que el texto lineal oculta con facilidad: esta clase recibe capacidades previas, toma decisiones apoyadas por fuentes, exige una experiencia y produce evidencia que habilita trabajo posterior. No representa un procedimiento de obra.

Resultado observable, evidencia y evaluación

1. Identificar y delimitar las condiciones necesarias para responder la pregunta central de dinámica, período, amortiguamiento y resonancia.
2. Producir y comprobar la evidencia declarada por la clase: ARQ-197 organizó acciones por casos. Añadiremos una dependencia temporal mediante DIN-01 , un oscilador ideal de un grado de libertad. Derivarás frecuencia natural, período y amplitud estacionaria bajo fuerza armónica.
3. Justificar una decisión de dinámica, período, amortiguamiento y resonancia mediante fuentes, supuestos, alternativas y límites explícitos.

Actividad, evidencia y criterio de aceptación

Actividad: Un oscilador tiene m=5.000 kg, k=800.000 N/m y ζ=0,10. Calcula ωn, Tn y c. Se aplica una fuerza armónica de amplitud 800 N.

Evidencia mínima: ARQ-197 organizó acciones por casos. Añadiremos una dependencia temporal mediante DIN-01 , un oscilador ideal de un grado de libertad. Derivarás frecuencia natural, período y amplitud estacionaria bajo fuerza armónica.

Archivo sugerido: evidence/ARQ-198/evidencia.md.

Criterio de aceptación: la entrega se acepta cuando:

• La entrega responde explícitamente a la pregunta: ¿Por qué una fuerza oscilante puede producir una respuesta muy distinta de la que sugiere su valor estático, y qué cambia al modificar masa, rigidez o amortiguamiento?
• La actividad conserva las fronteras del caso y permite reconstruir el procedimiento: Un oscilador tiene m=5.000 kg, k=800.000 N/m y ζ=0,10. Calcula ωn, Tn y c. Se aplica una fuerza armónica de amplitud 800 N.
• Cada afirmación externa puede seguirse hasta una fuente, su alcance consultado y su límite.
• La evidencia deja disponible una entrada comprobable para ARQ-199.
• Distingue rad/s de Hz, masa de peso, amortiguamiento dimensional de ζ y respuesta estacionaria de transitoria. Reconstruye una comparación sin cambiar parámetros en silencio.

La rúbrica común complementa estos criterios; no los reemplaza. Una entrega puede superar un promedio y continuar pendiente si oculta una condición crítica.

Trazabilidad de las decisiones

La tabla permite auditar las relaciones; la explicación, el caso y la práctica de la clase siguen siendo la documentación principal.

Autoevaluación, recuperación y continuidad

Errores diagnósticos

Antes de avanzar, comprueba si puedes reconstruir cada resultado sin mirar la solución, señalar qué evidencia lo sostiene y nombrar una condición que obligaría a revisar tu decisión. Conserva la primera versión, la objeción recibida y la revisión.

Conexión siguiente: La continuidad inmediata es ARQ-199 · Modelos, discretización y error de idealización; conserva el método y vuelve a verificar datos y límites.

Fuentes y alcance de uso

Los ejemplos, diagramas y desarrollos numéricos son originales. Las fuentes fundamentan los conceptos señalados, no los parámetros ficticios. Consulta de fuentes nuevas: 21 de septiembre de 2026. No se afirma lectura íntegra de normas o manuales cuando el alcance fue parcial.

[PHY-OSC] University Physics Volume 1, 15.1 Simple Harmonic Motion

OpenStax / Rice University. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/15-1-simple-harmonic-motion

Consulta: Capítulo abierto Apoyo: Modelo masa-resorte y período de oscilación Límite: No proporciona un espectro de diseño sísmico chileno ni una predicción de terremotos.

[STR-FORCED] University Physics Volume 1, 15.6: Forced Oscillations

OpenStax / Rice University. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/15-6-forced-oscillations

Consulta: Sección web de respuesta forzada y resonancia. Apoyo: Relacionar excitación, frecuencia natural y amortiguamiento en un oscilador. Límite: La fuerza armónica no equivale a una excitación sísmica de base ni a un espectro.