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Parte 20 · Clase 194 de 830

ARQ-194 · Flexión, rigidez y deformaciones

Parte 20 · Clase desarrollada · Incorporada en v0.13.0.

Prerrequisitos conceptuales: ARQ-193, ARQ-027. Sin calendario. Los parámetros, ensayos y casos son didácticos y ficticios; no dimensionan una obra ni acreditan seguridad. Revisión externa especializada pendiente.

Pregunta central

¿Por qué dos vigas con las mismas reacciones pueden tener momentos y deformaciones diferentes, y cómo influye la disposición de su material en esa diferencia?

Resultado y continuidad

ARQ-193 distinguió fuerza y tensión. Ahora relacionaremos equilibrio de segmentos, curvatura, rigidez flexional y desplazamiento. Se crea FLEX-01, una viga simplemente apoyada de seis metros con carga uniforme de 4 kN/m. No sustituye EST-V191. Su material elástico ficticio tiene E=200 GPa y su segundo momento de área es I=8×10⁻⁵ m⁴. Resolverás la curva de momentos y la flecha central; después cambiarás la distribución de la carga conservando la fuerza total.

1. La flexión no es una fuerza adicional

Al cortar una viga, la distribución de tensiones normales puede tener resultante axial nula y, sin embargo, producir un momento. Una parte de la sección está en tracción y otra en compresión. El momento interno M resume el efecto de esa distribución respecto del eje considerado.

Para la flexión plana de una viga homogénea lineal y bajo la hipótesis de secciones que permanecen planas, la deformación longitudinal varía linealmente con la distancia y al eje neutro. La ley elástica transforma esa variación en tensión. Integrar sus momentos conduce a M=EIκ, donde κ es curvatura. La tensión es proporcional a My/I, con el signo fijado por los ejes [STR-BEAM-STRESS].

La curvatura mide cuánto cambia la orientación por unidad de longitud; no es el desplazamiento vertical. Una viga puede tener desplazamiento distinto de cero en una zona donde su pendiente es cero. En el centro de una viga simétrica cargada, precisamente sucede eso: la tangente es horizontal y la flecha puede ser máxima.

2. I no es el área de la sección

El segundo momento de área respecto del eje de flexión se define como I=∫A y² dA. El área situada lejos del eje pesa más en la integral porque aparece multiplicada por y². Para un rectángulo de base b y altura h respecto del eje horizontal centroidal, I=bh³/12.

Si se duplica h manteniendo b, I se multiplica por ocho, pero el área se duplica. Si se gira una sección rectangular, el eje respecto del cual se calcula I cambia. No es correcto consultar «la inercia del perfil» sin identificar dirección y unidades. Un valor en cm⁴ exige convertir la cuarta potencia: un cm⁴ equivale a 10⁻⁸ m⁴.

La magnitud EI es rigidez flexional de la idealización. Ni I ni EI son resistencia. Un material puede tener gran E y límites resistentes insuficientes para una solicitación, o puede modificar su rigidez al fisurarse. Los datos de FLEX-01 no atribuyen esas propiedades a un producto comercial.

3. Cortar antes de dibujar el diagrama

En FLEX-01 la fuerza total es 24 kN, simétrica; cada apoyo reacciona con 12 kN. Para una sección situada a x desde A, aislamos la porción izquierda. La carga incluida en esa porción es wx, aplicada a x/2 de A.

Con la convención de momento positivo de flexión sagante, el equilibrio entrega:

V(x) = wL/2 − wx
M(x) = wLx/2 − wx²/2

Al derivar M respecto de x obtenemos V. Al derivar V obtenemos −w, según esta convención. Un diagrama de momentos recto sería incompatible con esta carga uniforme: su pendiente, el cortante, cambia a lo largo de la luz. El procedimiento de cortes y diagramas se fundamenta en [STR-MOMENT].

En el centro x=3 m, V=0 y M=12×3−4×3²/2=18 kN·m. En ambos apoyos M=0. Esas condiciones permiten revisar forma, escala y extremos, no solo un valor máximo obtenido de una tabla.

4. Derivar la flecha a partir de curvatura

Para esta derivación tomamos v positiva hacia arriba; las cargas descendentes producirán v negativa. En la aproximación de pequeñas pendientes, v''=M/(EI) con los signos adoptados. Integramos dos veces:

EI v' = wLx²/4 − wx³/6 + C1
EI v  = wLx³/12 − wx⁴/24 + C1 x + C2

Las condiciones de apoyo son v(0)=0 y v(L)=0. La primera exige C2=0; la segunda da C1=−wL³/24. No se impone pendiente cero en los apoyos articulados: pueden girar. Imponerla además sin cambiar el modelo sobre-restringiría la solución.

Evaluando en L/2 se obtiene vcentro=−5wL⁴/(384EI). Usaremos su magnitud δ. Los apuntes sobre desplazamientos de vigas desarrollan esta conexión entre integración y condiciones de borde [STR-BEAM-DISP]. La ecuación no debe memorizarse sin conservar qué apoyos y qué carga la originan.

5. Caso numérico y comprobación de unidades

E=200 GPa equivale a 200×10⁹ N/m². Multiplicado por I produce EI=16×10⁶ N·m². La carga debe expresarse como 4.000 N/m. Sustituyendo L=6 m:

δ = 5×4.000×6⁴ / (384×16.000.000)
δ = 0,00421875 m = 4,21875 mm

La unidad del numerador es N·m³ y la del denominador N·m²; el cociente es longitud. Esta verificación no demuestra adecuación física, pero detectaría usar E en GPa sin su conversión.

Si una fibra está a 0,10 m del eje neutro, la magnitud de tensión elástica de flexión en la sección central sería 18.000×0,10/(8×10⁻⁵)=22,5 MPa. La coordenada de esa fibra es otro dato del ejemplo, no una deducción completa de la forma de sección a partir de I. No se compara con una resistencia no proporcionada.

6. La misma fuerza total no conserva la respuesta interna

FLEX-02 mantiene luz, material, sección y apoyos, pero reemplaza la carga distribuida por una fuerza de 24 kN en el centro. Las reacciones siguen siendo doce kN. Por equilibrio, el momento central ahora es PL/4=36 kN·m: el doble que antes.

La integración por dos tramos, imponiendo continuidad y simetría en el centro, conduce a δ=PL³/(48EI)=6,75 mm. El cociente entre flechas es 1,6, no dos. Reacciones iguales no implican diagramas iguales, y momentos máximos en razón dos tampoco obligan a que las flechas tengan la misma razón: la deformación depende de toda la distribución de curvatura.

Este ejemplo aclara el alcance de la fuerza equivalente usada en ARQ-191. Sustituir una carga distribuida por su resultante sirve para equilibrio global del cuerpo. No conserva automáticamente esfuerzos en cortes interiores ni desplazamientos. Dibujar solo la resultante en el modelo de flexión sería cambiar el caso.

Figura 194. Ambos casos tienen reacciones de 12 kN. FLEX-01 y FLEX-02 conservan sus distribuciones distintas de M y desplazamiento.

7. Sensibilidad a luz, rigidez y carga

Bajo carga uniforme fija por unidad de longitud, δ es proporcional a L⁴. Pasar de seis a tres metros reduce la flecha a un dieciseisavo, si E, I y w no cambian. Si en lugar de conservar w se conserva la fuerza total, entonces w cambia con L y la dependencia resultante es cúbica. Debe declararse qué permanece fijo antes de hablar de proporcionalidad.

Duplicar I reduce a la mitad la flecha del mismo caso. Pero modificar una sección real puede cambiar peso, volumen, conexiones y altura disponible. La comparación puramente mecánica sirve para comprender sensibilidad; el proyecto coordinado necesita actualizar las acciones afectadas y las interfaces.

Un límite de flecha de una norma, un requisito de un cerramiento y una condición de confort por vibración no son necesariamente el mismo criterio. Esta clase no asigna un límite universal. El resultado milimétrico debe vincularse con la pregunta concreta y el estado de carga evaluado.

8. Qué deja fuera la viga elemental

La aproximación adoptada puede requerir revisión cuando son importantes deformación por cortante, grandes desplazamientos, fisuración, fluencia, torsión, cambios térmicos o rigidez de conexiones. No todos esos efectos actúan del mismo modo ni se corrigen con un factor único.

La flecha durante una etapa de ejecución puede diferir de la correspondiente al sistema terminado. Un elemento compuesto puede ganar cooperación después de construir conexiones o endurecer otro componente; la carga anterior no desaparece. ARQ-208 retomará esa secuencia como una pregunta de modelo.

También hay que distinguir deformación de la viga y movimiento de sus apoyos. Nuestra derivación impuso v=0 en ambos. Si los apoyos asientan, esas condiciones cambian. Los resultados de geotecnia no se incorporan sumando cualquier desplazamiento de otro ejercicio; deben referir el mismo caso y una compatibilidad definida.

Práctica independiente

Resuelve una viga ideal de cuatro metros con carga uniforme de 3 kN/m y EI=8×10⁶ N·m². Obtén reacciones, M(x), momento máximo y flecha central. Luego reemplaza la carga por doce kN concentrados en el centro, conservando EI y apoyos.

Una sección rectangular tiene b=0,10 m y h=0,20 m. Calcula I para flexión respecto del eje horizontal centroidal; gira la sección noventa grados y repite. Explica qué sucede con la flecha bajo la misma carga y qué información seguiría faltando antes de adoptar la nueva orientación en un edificio.

Solución razonada

La fuerza distribuida total es doce kN; cada reacción, seis. M(x)=6x−1,5x² en kN·m cuando x está en metros. En x=2 m, M=6 kN·m. La flecha es 5×3.000×4⁴/(384×8×10⁶)=0,00125 m, o 1,25 mm.

Con doce kN puntuales, las reacciones no cambian. El momento central es doce kN·m y la flecha 12.000×4³/(48×8×10⁶)=0,002 m, o dos mm. La razón de flechas sigue siendo 1,6 bajo estas hipótesis.

La primera orientación tiene I=0,10×0,20³/12≈6,667×10⁻⁵ m⁴. Al girarla, I=0,20×0,10³/12≈1,667×10⁻⁵ m⁴, la cuarta parte. Con igual E y acciones, la flecha calculada se cuadruplica. Faltan resistencia, estabilidad, conexiones, apoyos, altura disponible y demás condiciones pertinentes. Conservar área no conserva rigidez en una dirección.

Autoevaluación y enlace

Explica por qué el desplazamiento central no se obtiene solo del máximo momento, comprueba las condiciones de borde e identifica qué cambia al girar una sección. ARQ-195 estudiará estabilidad: una pieza puede satisfacer equilibrio y tener una tensión media conocida, pero perder su configuración bajo compresión.

Decisión pedagógica y posición curricular

Por qué existe

Esta clase existe para resolver una necesidad concreta del recorrido: ¿Por qué dos vigas con las mismas reacciones pueden tener momentos y deformaciones diferentes, y cómo influye la disposición de su material en esa diferencia?

Por qué está exactamente aquí

Ocupa el lugar 4 de la Parte 20. Se estudia después de ARQ-193 · Tracción, compresión y cortante porque usa esa base para responder «¿Por qué dos vigas con las mismas reacciones pueden tener momentos y deformaciones diferentes, y cómo influye la disposición de su material en esa diferencia?». Se ubica antes de ARQ-195 · Pandeo y estabilidad porque la evidencia producida aquí debe estar disponible para ese paso.

flowchart LR
    A["Prerrequisitos · ARQ-193, ARQ-027"] --> B["ARQ-194 · necesidad y fundamento"]
    S["Fuentes · STR-BEAM-STRESS Stresses in Beams + STR-MOMENT Shear and Bending Moment Diagrams + STR-BEAM-DISP Beam Displacements"] --> B
    B --> C["Actividad auténtica"]
    C --> D["Evidencia auditable"]
    D --> E["Continuidad · ARQ-195, ARQ-200, ARQ-201"]

El diagrama permite comprobar una relación que el texto lineal oculta con facilidad: esta clase recibe capacidades previas, toma decisiones apoyadas por fuentes, exige una experiencia y produce evidencia que habilita trabajo posterior. No representa un procedimiento de obra.

Resultado observable, evidencia y evaluación

  1. Identificar y delimitar las condiciones necesarias para responder la pregunta central de flexión, rigidez y deformaciones.
  2. Producir y comprobar la evidencia declarada por la clase: ARQ-193 distinguió fuerza y tensión. Ahora relacionaremos equilibrio de segmentos, curvatura, rigidez flexional y desplazamiento. Se crea FLEX-01 , una viga simplemente apoyada de seis metros con carga uniforme de 4 kN/m.
  3. Justificar una decisión de flexión, rigidez y deformaciones mediante fuentes, supuestos, alternativas y límites explícitos.

Actividad, evidencia y criterio de aceptación

Actividad: Resuelve una viga ideal de cuatro metros con carga uniforme de 3 kN/m y EI=8×10⁶ N·m². Obtén reacciones, M(x), momento máximo y flecha central. Luego reemplaza la carga por doce kN concentrados en el centro, conservando EI y apoyos.

Evidencia mínima: ARQ-193 distinguió fuerza y tensión. Ahora relacionaremos equilibrio de segmentos, curvatura, rigidez flexional y desplazamiento. Se crea FLEX-01 , una viga simplemente apoyada de seis metros con carga uniforme de 4 kN/m.

Archivo sugerido: evidence/ARQ-194/evidencia.md.

Criterio de aceptación: la entrega se acepta cuando:

La rúbrica común complementa estos criterios; no los reemplaza. Una entrega puede superar un promedio y continuar pendiente si oculta una condición crítica.

Trazabilidad de las decisiones

# Decisión o fundamento Fuente utilizada Aplicación y límite en esta clase
1 Distinguir resultantes internas, distribución de tensiones y propiedades geométricas. STR-BEAM-STRESS Stresses in Beams Consulta: Desarrollo de tensión de flexión, segundo momento de área y flujo cortante; figuras pertinentes inspeccionadas. Límite: Viga ideal y régimen especificado; no dimensionamiento de elementos comerciales.
2 Obtener V y M por cortes, manteniendo una convención de signos. STR-MOMENT Shear and Bending Moment Diagrams Consulta: Secciones de equilibrio de segmentos y construcción de diagramas. Límite: Las convenciones del curso se declaran por separado; no se copian casos.
3 Relación entre rigidez flexional, cargas y desplazamientos. STR-BEAM-DISP Beam Displacements Consulta: Apartados de integración de curvatura y condiciones de borde. Límite: No define límites normativos de flecha ni valida conexiones reales.

La tabla permite auditar las relaciones; la explicación, el caso y la práctica de la clase siguen siendo la documentación principal.

Autoevaluación, recuperación y continuidad

Errores diagnósticos

Antes de avanzar, comprueba si puedes reconstruir cada resultado sin mirar la solución, señalar qué evidencia lo sostiene y nombrar una condición que obligaría a revisar tu decisión. Conserva la primera versión, la objeción recibida y la revisión.

Conexión siguiente: La continuidad inmediata es ARQ-195 · Pandeo y estabilidad; conserva el método y vuelve a verificar datos y límites.

Fuentes y alcance de uso

Los ejemplos, diagramas y desarrollos numéricos son originales. Las fuentes fundamentan los conceptos señalados, no los parámetros ficticios. Consulta de fuentes nuevas: 21 de septiembre de 2026. No se afirma lectura íntegra de normas o manuales cuando el alcance fue parcial.

[STR-BEAM-STRESS] Stresses in Beams

David Roylance / MIT OpenCourseWare. https://ocw.mit.edu/courses/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/96d839b02e4a6c63cf8031800e89cccd_MIT3_11F99_bstress.pdf

Consulta: Desarrollo de tensión de flexión, segundo momento de área y flujo cortante; figuras pertinentes inspeccionadas. Apoyo: Distinguir resultantes internas, distribución de tensiones y propiedades geométricas. Límite: Viga ideal y régimen especificado; no dimensionamiento de elementos comerciales.

[STR-MOMENT] Shear and Bending Moment Diagrams

David Roylance / MIT OpenCourseWare. https://ocw.mit.edu/courses/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/b8e832b3c8bf3c1700c26425a4baddb1_MIT3_11F99_statics.pdf

Consulta: Secciones de equilibrio de segmentos y construcción de diagramas. Apoyo: Obtener V y M por cortes, manteniendo una convención de signos. Límite: Las convenciones del curso se declaran por separado; no se copian casos.

[STR-BEAM-DISP] Beam Displacements

David Roylance / MIT OpenCourseWare. https://ocw.mit.edu/courses/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/13534abb67b86d2fb8ee11a1f4f2b8c4_MIT3_11F99_bdisp.pdf

Consulta: Apartados de integración de curvatura y condiciones de borde. Apoyo: Relación entre rigidez flexional, cargas y desplazamientos. Límite: No define límites normativos de flecha ni valida conexiones reales.