Parte 03 · Clase 30 de 830

ARQ-030 · Modelos discretos, cálculo numérico y validación

Parte 03 · Clase desarrollada · Incorporada en v0.3.0 · 21 de septiembre de 2026.

Material de estudio con casos originales. Revisión externa especializada pendiente. La numeración organiza conocimientos, no un calendario.

Pregunta central

¿Cómo distinguir un resultado numérico convincente de un modelo que realmente representa el problema?

Qué aprenderás y qué entregarás

Transformarás un balance físico sencillo en un modelo discreto, calcularás aproximaciones con diferentes pasos y separarás verificación matemática, calibración y validación empírica. Entregarás una tabla de resultados, un estudio de sensibilidad al paso y una ficha de supuestos. Aprenderás a reconocer resultados imposibles aunque un programa se ejecute sin errores.

Se necesitan funciones, derivadas, energía e incertidumbre. El ejemplo térmico es educativo: no dimensiona una instalación, no demuestra confort y no sustituye un modelo energético de edificio.

1. Del edificio complejo a una pregunta pequeña

“Simular el edificio” es demasiado amplio para evaluar un cálculo. Aquí preguntamos cómo se enfría una zona ideal cuando el exterior permanece a temperatura constante y no hay aportes de calor. Reducimos toda su capacidad de almacenar energía a un único nodo de temperatura T.

Adoptamos una capacidad térmica efectiva C=3.600.000 J/K y un coeficiente global de intercambio H=100 W/K. Son parámetros ficticios, no propiedades recomendadas de una vivienda. La temperatura exterior es Te=10 °C; inicialmente el nodo está a T0=20 °C.

La simplificación excluye estratificación, radiación solar, variación exterior, ventilación cambiante y múltiples temperaturas de superficies. No afirmamos que esos efectos sean pequeños en un caso real. Los apartamos para estudiar de forma controlada el cálculo numérico.

2. Derivar el balance antes de programarlo

La potencia que sale del nodo se modela como H·(T-Te). La energía almacenada cambia a razón de C·dT/dt. Sin otras entradas, conservación de energía exige:

C·dT/dt = -H·(T-Te).

Reordenamos: dT/dt=-(H/C)·(T-Te). Si T es mayor que Te, el lado derecho es negativo y la temperatura disminuye. Si T coincide con Te, la derivada es cero. Estas dos comprobaciones cualitativas deben preceder al código.

Las unidades también deben cerrar. H/C tiene unidades (J/s/K)/(J/K)=1/s; al multiplicar por una diferencia de temperatura obtenemos K/s. Usar horas en t con H expresado por segundo introduciría un error de factor 3.600.

La constante de tiempo es τ=C/H=36.000 s=10 h. No representa el instante en que termina por completo el enfriamiento. Caracteriza la velocidad del cambio dentro de este modelo.

3. Una solución de referencia que permite comprobar

Para parámetros constantes, la solución es T(t)=Te+(T0-Te)·exp(-t/τ). Puedes verificarla derivando y sustituyendo en la ecuación, y comprobar que en t=0 recupera T0. La función exponencial no proviene de ajustar una curva arbitraria a tres puntos: satisface el balance planteado.

A una hora: T=10+10·exp(-0,1)=19,04837 °C. A dos horas: T=10+10·exp(-0,2)=18,18731 °C. La disminución se hace más lenta al acercarse al exterior porque se reduce la diferencia que impulsa el intercambio.

Esta solución “exacta” lo es respecto de la ecuación simplificada, no respecto de un edificio real. Es posible tener una solución matemática exacta para un modelo físicamente inadecuado. Mantener esa distinción evitará sobrevalorar resultados de software.

4. Convertir una derivada en pasos

El método de Euler explícito aproxima la derivada al inicio de cada intervalo. Para un paso Δt:

T(n+1)=T(n) - (H·Δt/C)·(T(n)-Te).

Definamos α=H·Δt/C. Con Δt=3.600 s, α=0,1. Desde 20 °C calculamos T1=20-0,1×10=19 °C. El siguiente paso da T2=19-0,1×9=18,1 °C.

No usamos en el segundo paso nuevamente la diferencia inicial de 10 grados. Cada iteración comienza en el resultado anterior. Confundir esas dos operaciones convertiría el enfriamiento exponencial en una disminución lineal injustificada.

La tabla permite reconocer que Euler enfría algo más rápido para este paso y caso. No prueba que siempre se equivoque del mismo modo en cualquier ecuación.

5. Reducir el paso y mirar convergencia

Con Δt=1.800 s, α=0,05. Necesitamos cuatro pasos para llegar a dos horas. El resultado puede escribirse T4=10+10·0,95⁴=18,14506 °C. El error es aproximadamente -0,04225 K, menor en magnitud que con pasos de una hora.

Si usas un paso aún menor y el resultado se aproxima a una referencia estable, tienes evidencia de convergencia para este caso. No basta con comparar dos cálculos que coinciden porque ambos contienen el mismo error de unidades. La comparación independiente con la solución analítica fortalece la verificación.

Algunas integraciones parecen perfectas sin que el método sea universalmente preciso. La regla trapezoidal integra exactamente una función lineal en aritmética ideal. Por eso una prueba basada únicamente en cargas lineales podría ocultar limitaciones. OpenStax presenta reglas de integración numérica y su comportamiento [MATH-NUM].

Considera ahora la función matemática adimensional f(x)=x² entre 0 y 2. Su integral es 8/3≈2,666667. La regla trapezoidal con 1, 2 y 4 subintervalos entrega respectivamente 4; 3 y 2,75. El ejemplo revela el error que una función lineal no mostraría. Es original del programa y no representa una dimensión constructiva.

6. Estabilidad no equivale a plausibilidad

El error respecto del equilibrio se multiplica en cada paso por 1-α. Para este sistema escalar, la aproximación decae asintóticamente cuando `|1-α|2, crece en magnitud.

Dentro del intervalo estable todavía puede existir un problema físico. Con α=1,2, la primera temperatura es 20-1,2×10=8 °C: cruza por debajo del exterior, aunque el modelo continuo de enfriamiento pasivo nunca lo hace. Después oscila alrededor de 10 °C mientras se amortigua.

Para conservar un acercamiento sin sobrepaso en este ejemplo se requiere 0≤α≤1. Esto no es una regla universal para todas las simulaciones, ni una norma de diseño térmico. Deriva de esta ecuación y este algoritmo. Otros sistemas, métodos y fronteras tienen condiciones diferentes.

Un programa que devuelve 8 °C no necesariamente ha “descubierto” enfriamiento adicional. Primero revisa el paso, el balance y las hipótesis. La plausibilidad física es una prueba independiente de que el código termine sin excepción.

7. Verificación, calibración y validación

Verificar aquí consiste en comprobar que las ecuaciones y su implementación se resuelven de manera coherente. Incluye pruebas con soluciones conocidas, unidades, casos límite y convergencia. Validar pregunta si el modelo resulta adecuado para el uso propuesto frente a evidencia del sistema que pretende representar. La distinción general entre verificar requisitos y validar necesidades se presenta en el manual de ingeniería de sistemas de NASA [NASA-VERIFY]; su adaptación a este ejercicio es educativa.

Calibrar consiste en estimar parámetros a partir de datos bajo un modelo dado. Si ajustas H para que una curva coincida con observaciones y luego llamas “validación” a esa misma coincidencia, no has aportado una comprobación independiente. Debes separar, cuando sea posible, datos de ajuste y de contraste, e informar las limitaciones del conjunto disponible.

La incertidumbre de sensores, condiciones exteriores y ocupación también influye. Una diferencia de 0,05 K puede no tener el significado que aparenta si las entradas tienen incertidumbre mayor. La clase anterior enseña por qué el número de decimales de una salida no demuestra su calidad.

8. Un protocolo reproducible de comprobación

Conserva ecuación, unidades, parámetros, estado inicial, algoritmo, paso, duración y versión de código. Guarda también una tabla de resultados y los criterios elegidos antes de mirar si el modelo “aprueba”. Cambiar el criterio después de observar el error introduce una aceptación oportunista.

En nuestro caso podemos exigir que la implementación reproduzca T0, mantenga T=Te cuando arranca en equilibrio y se aproxime al valor analítico al reducir el paso. También probamos que C y Δt positivos sean obligatorios y que H no sea negativo. Esos controles detectan errores de entrada; no certifican las propiedades físicas de los valores admitidos.

Para un modelo aplicado, añade el uso previsto. Una aproximación útil para explicar una tendencia puede ser insuficiente para dimensionar un equipo o justificar cumplimiento. La precisión necesaria depende de la decisión, no del prestigio del programa empleado.

Práctica independiente

Problema A. Usa C=1.800.000 J/K, H=100 W/K, T0=22 °C, Te=12 °C y pasos de 1.800 s. Calcula dos pasos de Euler y la solución analítica a una hora.

Problema B. En el caso inicial, alguien escoge un paso de 25 horas para ahorrar cálculo. Obtén α y la primera temperatura. Explica qué condición incumple.

Problema C. Un modelo coincide con cinco datos utilizados para ajustar sus parámetros. El informe afirma: “Validado para todas las estaciones”. Identifica qué evidencia falta y redacta una conclusión más limitada.

Autoevaluación y transferencia

Debes poder reconstruir el balance sin mirar el código, predecir el signo del cambio y explicar por qué una solución numérica puede ser estable pero poco plausible. Un informe sólido diferencia el error del algoritmo de las limitaciones del modelo y de la incertidumbre de las entradas. Esa separación es la base para usar simulación arquitectónica sin delegar el juicio en una pantalla.

Decisión pedagógica y posición curricular

Por qué existe

Esta clase existe para resolver una necesidad concreta del recorrido: ¿Cómo distinguir un resultado numérico convincente de un modelo que realmente representa el problema?

Por qué está exactamente aquí

Cierra la Parte 03: integra lo producido en ARQ-029 · Probabilidad, incertidumbre y error de medida para responder «¿Cómo distinguir un resultado numérico convincente de un modelo que realmente representa el problema?». La transición hacia ARQ-031 · Del pedido del cliente a un programa de necesidades transfiere el método y la disciplina de evidencia, no los datos o parámetros particulares de esta parte.

• Prerrequisitos: ARQ-029
• Capacidad que introduce: Transformarás un balance físico sencillo en un modelo discreto, calcularás aproximaciones con diferentes pasos y separarás verificación matemática, calibración y validación empírica. Entregarás una tabla de resultados, un estudio de sensibilidad al paso y una ficha de supuestos. Aprenderás a reconocer resultados imposibles aunque un programa se ejecute sin errores.
• Clases o experiencias que dependen de ella: ARQ-091, ARQ-101, ARQ-146, ARQ-031

flowchart LR
    A["Prerrequisitos · ARQ-029"] --> B["ARQ-030 · necesidad y fundamento"]
    S["Fuentes · Organismo: OpenStax / Rice University. Consulta: 2026-09-21. + Organismo: National Aeronautics and Space…"] --> B
    B --> C["Actividad auténtica"]
    C --> D["Evidencia auditable"]
    D --> E["Continuidad · ARQ-091, ARQ-101, ARQ-146, ARQ-031"]

El diagrama permite comprobar una relación que el texto lineal oculta con facilidad: esta clase recibe capacidades previas, toma decisiones apoyadas por fuentes, exige una experiencia y produce evidencia que habilita trabajo posterior. No representa un procedimiento de obra.

Resultado observable, evidencia y evaluación

1. Identificar y delimitar las condiciones necesarias para responder la pregunta central de modelos discretos, cálculo numérico y validación.
2. Producir y comprobar la evidencia declarada por la clase: Transformarás un balance físico sencillo en un modelo discreto, calcularás aproximaciones con diferentes pasos y separarás verificación matemática, calibración y validación empírica. Entregarás una tabla de resultados, un estudio de sensibilidad al paso y una ficha de supuestos. Aprenderás a reconocer resultados imposibles aunque un programa se ejecute sin errores.
3. Justificar una decisión de modelos discretos, cálculo numérico y validación mediante fuentes, supuestos, alternativas y límites explícitos.

Actividad, evidencia y criterio de aceptación

Actividad: Problema A. Usa C=1.800.000 J/K , H=100 W/K , T0=22 °C , Te=12 °C y pasos de 1.800 s. Calcula dos pasos de Euler y la solución analítica a una hora.

Evidencia mínima: Transformarás un balance físico sencillo en un modelo discreto, calcularás aproximaciones con diferentes pasos y separarás verificación matemática, calibración y validación empírica. Entregarás una tabla de resultados, un estudio de sensibilidad al paso y una ficha de supuestos. Aprenderás a reconocer resultados imposibles aunque un programa se ejecute sin errores.

Archivo sugerido: evidence/ARQ-030/evidencia.md.

Criterio de aceptación: la entrega se acepta cuando:

• La entrega responde explícitamente a la pregunta: ¿Cómo distinguir un resultado numérico convincente de un modelo que realmente representa el problema?
• La actividad conserva las fronteras del caso y permite reconstruir el procedimiento: Problema A. Usa C=1.800.000 J/K , H=100 W/K , T0=22 °C , Te=12 °C y pasos de 1.800 s. Calcula dos pasos de Euler y la solución analítica a una hora.
• Cada afirmación externa puede seguirse hasta una fuente, su alcance consultado y su límite.
• La evidencia deja disponible una entrada comprobable para ARQ-091.
• Para parámetros constantes, la solución es T(t)=Te+(T0-Te)·exp(-t/τ) . Puedes verificarla derivando y sustituyendo en la ecuación, y comprobar que en t=0 recupera T0.

La rúbrica común complementa estos criterios; no los reemplaza. Una entrega puede superar un promedio y continuar pendiente si oculta una condición crítica.

Trazabilidad de las decisiones

La tabla permite auditar las relaciones; la explicación, el caso y la práctica de la clase siguen siendo la documentación principal.

Autoevaluación, recuperación y continuidad

Errores diagnósticos

Antes de avanzar, comprueba si puedes reconstruir cada resultado sin mirar la solución, señalar qué evidencia lo sostiene y nombrar una condición que obligaría a revisar tu decisión. Conserva la primera versión, la objeción recibida y la revisión.

Conexión siguiente: La continuidad inmediata es ARQ-031 · Del pedido del cliente a un programa de necesidades; conserva el método y vuelve a verificar datos y límites.

Fuentes y alcance de uso

Las referencias identifican apoyos conceptuales. Los escenarios, cifras y soluciones del capítulo son elaboraciones didácticas originales, no datos de una obra ni ejemplos copiados de estas fuentes.

[MATH-NUM] Calculus Volume 2, 3.6: Numerical Integration

Organismo: OpenStax / Rice University. Consulta: 2026-09-21.

https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/3-6-numerical-integration

Alcance consultado: Sección web; aproximación numérica de integrales.

Apoyo: Reglas de trapecios y refinamiento de discretización.

Límites: El modelo térmico transitorio y su análisis son elaboraciones del programa, no un modelo de edificio validado.

[NASA-VERIFY] NASA Systems Engineering Handbook, 5.0: Product Realization

Organismo: National Aeronautics and Space Administration. Consulta: 2026-09-21.

https://www.nasa.gov/reference/5-0-product-realization/

Alcance consultado: Apartados web de verificación y validación.

Apoyo: Distinguir conformidad con requisitos de adecuación al uso.

Límites: La verificación de cálculos no constituye validación de un edificio.