Parte 03 · Clase 29 de 830

ARQ-029 · Probabilidad, incertidumbre y error de medida

Parte 03 · Clase desarrollada · Incorporada en v0.3.0 · 21 de septiembre de 2026.

Material de estudio con casos originales. Revisión externa especializada pendiente. La numeración organiza conocimientos, no un calendario.

Pregunta central

¿Cuánto puedes confiar en una medida y cómo cambia esa confianza cuando calculas otra cantidad a partir de ella?

Qué aprenderás y qué entregarás

Distinguirás valor medido, error, incertidumbre, resolución y tolerancia. Aprenderás a resumir mediciones repetidas, combinar componentes sencillas de incertidumbre y explicar probabilidades sin convertirlas en certezas. Entregarás un registro de medición ficticio, el cálculo de un área con incertidumbre y una conclusión que indique qué queda sin comprobar.

Los datos de esta clase son inventados para estudiar el método. No representan la precisión de un instrumento comercial ni las tolerancias aceptables de una obra. Necesitas unidades, áreas y derivadas de las clases anteriores.

1. Una cifra no describe toda la medición

Escribe 5,000 m. La notación muestra un valor, pero no informa si se utilizó una cinta, un instrumento óptico o un plano impreso. Tampoco indica entre qué referencias se midió, qué correcciones se aplicaron o en qué condiciones. Dos resultados con los mismos decimales pueden tener calidades muy diferentes.

El mensurando es la cantidad que se pretende medir. “Ancho de la sala” puede ser ambiguo: ¿entre caras terminadas, entre elementos estructurales, a qué altura y en qué sección? Una pared no paralela vuelve importantes esas decisiones. Antes de mejorar la calculadora, mejora la definición de lo medido.

El error es la diferencia respecto de un valor de referencia pertinente; no siempre se conoce. La incertidumbre expresa la dispersión atribuible al resultado según la información disponible. No es una confesión de negligencia ni una corrección que debas restar automáticamente. La terminología de NIST ayuda a separar estos conceptos [MET-TERM] [MET-UNC].

La resolución es el cambio mínimo que el sistema de lectura permite distinguir en determinadas condiciones. Que una pantalla muestre milímetros no demuestra exactitud milimétrica. La tolerancia, en cambio, fija un intervalo aceptable para una característica del producto o proceso. No nace del número de decimales de la medición.

2. Repetir enseña algo, pero no enseña todo

Supón cinco mediciones independientes, realizadas del mismo modo, de una longitud estable: 4,998; 5,001; 5,000; 4,999; 5,002 m. El promedio es 5,000 m.

Las desviaciones respecto del promedio son -0,002; 0,001; 0; -0,001; 0,002 m. La suma de sus cuadrados es 0,000010 m². La desviación estándar muestral utiliza n-1=4 en el denominador:

s = sqrt(0,000010/4) = 0,001581 m.

Para estimar la incertidumbre estándar del promedio atribuible a esa repetibilidad, bajo independencia y estabilidad, usamos s/sqrt(n). Obtenemos 0,001581/sqrt(5)=0,000707 m. No es la dispersión de una lectura aislada: es una componente asociada a la media de las cinco lecturas. NIST describe la evaluación estadística de componentes como evaluación tipo A [MET-TYPEA].

La independencia merece una comprobación conceptual. Leer cinco veces la misma marca sin recolocar nada puede repetir el mismo error de alineación. Promediar resultados de un objeto que cambia con la temperatura puede mezclar variaciones reales con ruido de medición. El denominador no repara un procedimiento mal definido.

3. Información que no procede de repetir

También puede existir información de calibración, especificaciones o resolución. NIST denomina tipo B a la evaluación basada en información diferente del análisis estadístico de observaciones repetidas [MET-TYPEB]. Tipo A no significa necesariamente “aleatorio” ni tipo B equivale a “sistemático”: son categorías del método de evaluación.

Para este ejercicio adoptamos una resolución de 0,001 m. Si el redondeo se modela uniformemente entre -0,0005 y +0,0005 m, la incertidumbre estándar correspondiente es 0,0005/sqrt(3)=0,000289 m. La distribución uniforme es aquí una hipótesis explícita, no una propiedad universal de todas las pantallas.

Añadimos una componente de calibración ya expresada como incertidumbre estándar: 0,001 m. Si el documento entregara incertidumbre expandida, primero habría que conocer su factor de cobertura; no se debe tratar cualquier cifra como si fuera estándar.

Suponiendo independientes las tres componentes, la combinación cuadrática da:

uL = sqrt(0,000707² + 0,000289² + 0,001²) = 0,001258 m, aproximadamente.

Si la componente de calibración dominara, repetir muchas veces reduciría la primera contribución, no la tercera. Un instrumento que añade una desviación constante no se vuelve correcto por repetir cien veces el mismo procedimiento. Antes hay que identificar y, cuando corresponda, corregir el efecto y contabilizar la incertidumbre residual.

4. Propagar incertidumbre a un área

Ahora trabajaremos un ejemplo separado y más sencillo. Una sala rectangular ideal tiene L=5,000 m con uL=0,002 m, y W=4,000 m con uW=0,003 m. Estas son incertidumbres estándar de entrada, no tolerancias de fabricación.

El área es A=L·W=20,000 m². Una pequeña variación de L modifica A aproximadamente en W·δL; una de W lo hace en L·δW. Las derivadas de sensibilidad son, por tanto, ∂A/∂L=W y ∂A/∂W=L.

Bajo independencia y aproximación lineal, la incertidumbre estándar combinada resulta:

uA = sqrt((W·uL)² + (L·uW)²).

Sustituyendo: uA=sqrt((4×0,002)²+(5×0,003)²)=sqrt(0,008²+0,015²)=0,017 m².

Podemos informar A=20,000 m²; uA=0,017 m², aclarando el modelo y el tipo de incertidumbre. La segunda dimensión aporta más incertidumbre al área aunque su longitud nominal sea menor. Lo relevante es el producto entre sensibilidad e incertidumbre de entrada. Esta estructura de propagación se apoya en la ley de combinación presentada por NIST [MET-COMB].

El cálculo presupone un rectángulo. Si las paredes no son paralelas, puede dominar el error de modelo geométrico. Añadir más decimales a L no convierte un recinto irregular en un rectángulo.

5. Cuando las entradas están relacionadas

Usar el mismo instrumento puede introducir componentes comunes. En una aproximación con correlación ρ, la expresión del área incorpora 2·W·L·ρ·uL·uW dentro de la raíz.

Con los datos anteriores y una correlación supuesta ρ=0,5, obtenemos uA=sqrt(0,000289+0,000120)=0,020224 m². Es mayor que el resultado independiente. No debes asignar ρ solo para obtener una cifra cómoda: su valor necesita fundamento.

La independencia es una hipótesis comprobable, no una opción predeterminada que borre los vínculos entre mediciones. En problemas reales puede ser necesario separar componentes comunes e independientes, estudiar covarianzas o usar otro método de propagación. El modelo lineal también debe revisarse cuando las variaciones sean grandes o la función presente fuerte no linealidad.

6. Intervalo de límites no es intervalo de confianza

Cambiemos deliberadamente el significado de los datos: imaginemos que ahora sabemos que L está dentro de 5,000±0,002 m y W dentro de 4,000±0,003 m como límites garantizados del ejercicio. No los estamos llamando incertidumbres estándar.

Con ambas dimensiones positivas, el área mínima es 4,998×3,997=19,977006 m² y la máxima 5,002×4,003=20,023006 m². Este intervalo procede de extremos de entrada, no de sumar varianzas ni de una afirmación probabilística del 95 %.

Multiplicar una incertidumbre estándar por dos tampoco garantiza por sí solo una cobertura exactamente del 95 %. La interpretación depende de la distribución, la información disponible y el método. Por eso un informe debe indicar qué significa su intervalo en vez de escribir solamente “±” y dejar que el lector adivine.

7. Probabilidad: frecuencia, dependencia y horizonte

Considera un equipo ficticio con probabilidad de fallo p=0,10 en cada periodo. Solo para el modelo, supongamos periodos independientes y la misma probabilidad en todos. La probabilidad de que no falle en cinco periodos es 0,9⁵=0,59049. La de al menos un fallo es su complemento: 1-0,9⁵=0,40951, es decir, 40,951 %.

No calculamos 5×10 %=50 %, porque esa suma contaría de manera inapropiada casos con más de un fallo. Tampoco concluimos que el fallo ocurrirá exactamente en el décimo periodo. El modelo no posee un reloj de compensación.

Si el equipo envejece, recibe mantenimiento o los fallos comparten una causa, pueden incumplirse las hipótesis. Este ejercicio no estima riesgos sísmicos ni confiabilidad real de instalaciones. Enseña a preguntar qué evento, horizonte y dependencia sustentan una probabilidad antes de utilizarla para decidir.

8. Decidir y documentar sin esconder la duda

Una buena ficha conserva el mensurando, los datos originales, el procedimiento, las correcciones, las componentes de incertidumbre y el uso previsto. Un valor sospechoso no se elimina únicamente porque aleje el promedio del resultado deseado: primero se investiga si hubo transcripción, cambio real o fallo del procedimiento.

La aceptación de una pieza requiere además una regla que considere tolerancias e incertidumbre. No basta con que el valor central caiga dentro del intervalo permitido. En esta clase no fijamos esa regla profesional; identificamos la información necesaria para formularla sin inventar conformidad.

Práctica independiente

Problema A. Calcula el área y su incertidumbre estándar para L=6,000 m, uL=0,003 m, W=3,000 m, uW=0,002 m, suponiendo independencia. Explica cuál entrada contribuye más al resultado.

Problema B. Una cinta produce siempre lecturas 4 mm mayores que un patrón verificado. El equipo propone medir cien veces y promediar. Explica qué podría mejorar y qué problema permanece.

Problema C. Para una probabilidad hipotética de fallo del 20 % por periodo, constante e independiente, calcula la probabilidad de al menos un fallo en tres periodos. Escribe dos razones por las que el modelo podría no representar un equipo real.

Solución razonada

En A, A=18,000 m². Las contribuciones son 3×0,003=0,009 m² y 6×0,002=0,012 m²; su combinación es sqrt(0,009²+0,012²)=0,015 m². La incertidumbre de W aporta más al área por su mayor sensibilidad. No debe afirmarse cobertura del 95 % solo a partir de este resultado.

En B, el promedio puede reducir una componente de dispersión de las observaciones bajo condiciones apropiadas, pero no elimina la desviación constante. Hay que investigar calibración, definición de las referencias y condiciones de uso; una corrección respaldada conserva incertidumbre residual.

En C, 1-(1-0,20)³=1-0,512=0,488, o 48,8 %. El envejecimiento puede cambiar p y una causa común puede correlacionar los periodos. El cálculo correcto no valida las hipótesis.

Autoevaluación y transferencia

Tu trabajo está fundamentado cuando otra persona puede reconstruir de dónde sale cada componente, identificar las hipótesis de independencia y distinguir entre incertidumbre, límites y tolerancias. Revisa si has usado “exacto” para una medición, confundido decimales con calidad o presentado un modelo probabilístico como una predicción segura. La transferencia a arquitectura consiste en tomar decisiones con medidas trazables, no en decorar planos con más cifras.

Decisión pedagógica y posición curricular

Por qué existe

Esta clase existe para resolver una necesidad concreta del recorrido: ¿Cuánto puedes confiar en una medida y cómo cambia esa confianza cuando calculas otra cantidad a partir de ella?

Por qué está exactamente aquí

Ocupa el lugar 9 de la Parte 03. Se estudia después de ARQ-028 · Energía, potencia y conservación porque usa esa base para responder «¿Cuánto puedes confiar en una medida y cómo cambia esa confianza cuando calculas otra cantidad a partir de ella?». Se ubica antes de ARQ-030 · Modelos discretos, cálculo numérico y validación porque la evidencia producida aquí debe estar disponible para ese paso.

Prerrequisitos: ARQ-028
Capacidad que introduce: Distinguirás valor medido, error, incertidumbre, resolución y tolerancia. Aprenderás a resumir mediciones repetidas, combinar componentes sencillas de incertidumbre y explicar probabilidades sin convertirlas en certezas. Entregarás un registro de medición ficticio, el cálculo de un área con incertidumbre y una conclusión que indique qué queda sin comprobar.
Clases o experiencias que dependen de ella: ARQ-042, ARQ-065, ARQ-069, ARQ-030

flowchart LR
    A["Prerrequisitos · ARQ-028"] --> B["ARQ-029 · necesidad y fundamento"]
    S["Fuentes · MET-TERM NIST TN 1297, Appendix D.1: Terminology — National Institute of Standards and Technology. + MET-UNC…"] --> B
    B --> C["Actividad auténtica"]
    C --> D["Evidencia auditable"]
    D --> E["Continuidad · ARQ-042, ARQ-065, ARQ-069, ARQ-030"]

El diagrama permite comprobar una relación que el texto lineal oculta con facilidad: esta clase recibe capacidades previas, toma decisiones apoyadas por fuentes, exige una experiencia y produce evidencia que habilita trabajo posterior. No representa un procedimiento de obra.

Resultado observable, evidencia y evaluación

Identificar y delimitar las condiciones necesarias para responder la pregunta central de probabilidad, incertidumbre y error de medida.
Producir y comprobar la evidencia declarada por la clase: Distinguirás valor medido, error, incertidumbre, resolución y tolerancia. Aprenderás a resumir mediciones repetidas, combinar componentes sencillas de incertidumbre y explicar probabilidades sin convertirlas en certezas. Entregarás un registro de medición ficticio, el cálculo de un área con incertidumbre y una conclusión que indique qué queda sin comprobar.
Justificar una decisión de probabilidad, incertidumbre y error de medida mediante fuentes, supuestos, alternativas y límites explícitos.

Actividad, evidencia y criterio de aceptación

Actividad: Problema A. Calcula el área y su incertidumbre estándar para L=6,000 m , uL=0,003 m , W=3,000 m , uW=0,002 m , suponiendo independencia. Explica cuál entrada contribuye más al resultado.

Evidencia mínima: Distinguirás valor medido, error, incertidumbre, resolución y tolerancia. Aprenderás a resumir mediciones repetidas, combinar componentes sencillas de incertidumbre y explicar probabilidades sin convertirlas en certezas. Entregarás un registro de medición ficticio, el cálculo de un área con incertidumbre y una conclusión que indique qué queda sin comprobar.

Archivo sugerido: evidence/ARQ-029/evidencia.md.

Criterio de aceptación: la entrega se acepta cuando:

La entrega responde explícitamente a la pregunta: ¿Cuánto puedes confiar en una medida y cómo cambia esa confianza cuando calculas otra cantidad a partir de ella?
La actividad conserva las fronteras del caso y permite reconstruir el procedimiento: Problema A. Calcula el área y su incertidumbre estándar para L=6,000 m , uL=0,003 m , W=3,000 m , uW=0,002 m , suponiendo independencia. Explica cuál entrada contribuye más al resultado.
Cada afirmación externa puede seguirse hasta una fuente, su alcance consultado y su límite.
La evidencia deja disponible una entrada comprobable para ARQ-042.
Tu trabajo está fundamentado cuando otra persona puede reconstruir de dónde sale cada componente, identificar las hipótesis de independencia y distinguir entre incertidumbre, límites y tolerancias. Revisa si has usado “exacto” para una medición, confundido decimales con calidad o presentado un modelo probabilístico como una predicción segura.

La rúbrica común complementa estos criterios; no los reemplaza. Una entrega puede superar un promedio y continuar pendiente si oculta una condición crítica.

Trazabilidad de las decisiones

#	Decisión o fundamento	Fuente utilizada	Aplicación y límite en esta clase
1	Distinción entre exactitud, repetibilidad y reproducibilidad..	MET-TERM NIST TN 1297, Appendix D.1: Terminology — National Institute…	Consulta: Alcance consultado no documentado; debe completarse antes de ampliar la conclusión. Límite: Límite no documentado; la fuente no autoriza por sí sola una decisión profesional.
2	Modelo de medición; diferencia entre evaluaciones tipo A y B; incertidumbre estándar..	MET-UNC Essentials of expressing measurement uncertainty: basic…	Consulta: Alcance consultado no documentado; debe completarse antes de ampliar la conclusión. Límite: Límite no documentado; la fuente no autoriza por sí sola una decisión profesional.
3	Evaluación estadística de componentes de incertidumbre.	Organismo: National Institute of Standards and Technology. Consulta:…	Consulta: Alcance consultado no documentado; debe completarse antes de ampliar la conclusión. Límite: Límite no documentado; la fuente no autoriza por sí sola una decisión profesional.
4	Información no obtenida por análisis estadístico de una serie; distribución rectangular.	Organismo: National Institute of Standards and Technology. Consulta:…	Consulta: Alcance consultado no documentado; debe completarse antes de ampliar la conclusión. Límite: Límite no documentado; la fuente no autoriza por sí sola una decisión profesional.

La tabla permite auditar las relaciones; la explicación, el caso y la práctica de la clase siguen siendo la documentación principal.

Autoevaluación, recuperación y continuidad

Errores diagnósticos

Antes de avanzar, comprueba si puedes reconstruir cada resultado sin mirar la solución, señalar qué evidencia lo sostiene y nombrar una condición que obligaría a revisar tu decisión. Conserva la primera versión, la objeción recibida y la revisión.

Conexión siguiente: La continuidad inmediata es ARQ-030 · Modelos discretos, cálculo numérico y validación; conserva el método y vuelve a verificar datos y límites.

Fuentes y alcance de uso

Las referencias identifican apoyos conceptuales. Los escenarios, cifras y soluciones del capítulo son elaboraciones didácticas originales, no datos de una obra ni ejemplos copiados de estas fuentes.