Clase 03 · Porcentajes en decisiones financieras

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Parte 01 — Matemática financiera básica · Nivel: Fundamento — sin conocimientos previos · Duración: 90 minutos

🎯 Propósito

Convertir el porcentaje de un cálculo escolar en una herramienta de decisión. El porcentaje es la operación más usada y peor aplicada de las finanzas: se equivoca la base, se encadenan descuentos como si se sumaran, y se confunde "descontar 20 %" con "recuperar 20 %". Esta clase fija las tres reglas que impiden esos errores y muestra por qué un aumento del 10 % seguido de una caída del 10 % no devuelve al punto de partida.

Con las cuatro formas de expresar una cantidad ya distinguidas, esta clase se concentra en la que más decisiones sostiene y peor se maneja. El porcentaje parece elemental y no lo es: depende de una base que casi nunca se declara, no se suma cuando se encadena y no es simétrico. Las tres cosas se usan a diario contra el cliente.

📚 Objetivos

Al finalizar podrás:

1. Identificar la base correcta de cualquier porcentaje antes de calcularlo.
2. Encadenar porcentajes sucesivos multiplicando factores, no sumando tasas.
3. Demostrar por qué +10 % seguido de −10 % deja un saldo de −1 %.
4. Calcular el porcentaje inverso: recuperar la base cuando solo conoces el resultado.
5. Detectar presentaciones engañosas de descuentos, recargos y rentabilidades.

Agenda de 90 minutos

La clase dura noventa minutos y se recorre en cinco tramos. No es un horario rígido: es el orden en que los bloques de esta página se sostienen unos a otros, y por eso conviene respetarlo aunque cambien los tiempos.

Los diez primeros minutos se dedican a recuperar la clase anterior, porque casi todo lo que aquí se explica supone algo que ya se vio. Los veinticinco siguientes desarrollan los conceptos con la fuente oficial a la vista: las referencias del final de la página no son un adorno bibliográfico, se consultan mientras se estudia. Del minuto 35 al 55 se resuelve el ejemplo guiado paso a paso, sin saltarse ninguno, porque el error típico vive precisamente en el paso que parece obvio. Los veinticinco minutos siguientes son de práctica con datos propios o sintéticos —nunca reales de terceros—, que es cuando se comprueba si se entendió. Los diez últimos cierran con las preguntas de comprobación y el registro del entregable.

Si el tiempo aprieta, lo que se recorta es la práctica y se traslada al laboratorio de la parte; lo que no se recorta nunca es el ejemplo guiado.

🧩 Conceptos centrales

Los seis términos giran alrededor de uno solo: la base. Sin base declarada, un porcentaje es una afirmación incompleta, y las cinco entradas restantes describen lo que ocurre cuando esa base cambia o se pierde de vista. La asimetría de la caída es la que produce más sorpresa, y se demuestra con dos multiplicaciones.

🧠 Modelo mental

Deja de pensar en "sumar y restar porcentajes" y piensa en multiplicar factores:

precio final = precio inicial × f₁ × f₂ × f₃ ...
   descuento 20 %  → f = 0,80
   recargo 15 %    → f = 1,15
   IVA 19 %        → f = 1,19

Con factores, el orden no importa para el resultado final y el error de sumar tasas desaparece por construcción. Toda la Parte 7 (capitalización) es esta misma idea llevada al tiempo.

📖 Desarrollo

1. La base: el dato que decide el resultado

Un producto cuesta 40 000 y sube a 50 000.

¿cuánto subió?          (50 000 − 40 000) / 40 000 = 25 %   base = precio viejo
¿cuánto era antes?      (50 000 − 40 000) / 50 000 = 20 %   base = precio nuevo

Ambos números son correctos y responden preguntas distintas: subió 25 %, y el precio viejo era 20 % menor que el nuevo. Un titular puede elegir cualquiera de los dos y ser técnicamente veraz. Por eso la regla es: nombra la base en la misma frase que el porcentaje.

2. Encadenamiento: descuentos que no se suman

Una tienda ofrece "30 % + 20 % adicional".

intuición errónea    30 % + 20 % = 50 % de descuento
cálculo correcto     1 − (0,70 × 0,80) = 1 − 0,56 = 0,44 → 44 % de descuento

Seis puntos porcentuales de diferencia sobre 200 000 pesos son 12 000 pesos. La misma mecánica, con signo contrario, aparece en los recargos:

recargo 10 % y luego 10 %:   1,10 × 1,10 = 1,21 → 21 %, no 20 %

3. La asimetría: por qué caer y subir lo mismo no empata

Un fondo de 1 000 000 sube 10 % y luego baja 10 %.

1 000 000 × 1,10 = 1 100 000
1 100 000 × 0,90 =   990 000   ← 1 % por debajo del inicio

La razón es que la caída se aplica sobre una base mayor. Generalizando, para volver al punto de partida tras una caída d:

ganancia necesaria = d / (1 − d)

caída 10 %  → 11,1 % para recuperar
caída 20 %  → 25,0 %
caída 50 %  → 100,0 %
caída 80 %  → 400,0 %

Esta tabla es una de las razones por las que la gestión de riesgo de la Parte 8 prioriza limitar pérdidas antes que maximizar ganancias: la aritmética castiga la caída dos veces.

4. Porcentaje inverso: recuperar la base

Es el cálculo que más se equivoca en facturación y en comisiones.

Precio con IVA (19 %) = 119 000
  ✗ 119 000 × 0,81 = 96 390     ← incorrecto
  ✓ 119 000 / 1,19 = 100 000    ← correcto
  IVA = 119 000 − 100 000 = 19 000

La misma lógica se usa para descontar una comisión retenida en origen, para pasar de un monto neto recibido a un monto bruto solicitado, y para calcular el capital de un crédito cuando el banco descuenta gastos del desembolso.

🧮 Ejemplo guiado

Situación. Un cliente solicita un crédito de 3 000 000. El banco descuenta en el desembolso una comisión de 2 % y un seguro de 1,5 %, ambos sobre el capital. Además ofrece una promoción de "20 % de descuento en la comisión". El cliente necesita recibir exactamente 3 000 000 en su cuenta.

Paso 1 — comisión con promoción.

comisión efectiva = 2 % × (1 − 0,20) = 2 % × 0,80 = 1,6 %

Paso 2 — descuento total sobre el capital.

descuentos = 1,6 % + 1,5 % = 3,1 %   (aquí SÍ se suman: ambos tienen la misma base, el capital)
factor de desembolso = 1 − 0,031 = 0,969

Nótese la diferencia con el punto 2 del desarrollo: dos porcentajes se suman solo si comparten base. Aquí ambos se calculan sobre el capital original, no en cascada.

Paso 3 — capital necesario (porcentaje inverso).

capital = 3 000 000 / 0,969 = 3 095 975,23 → 3 095 976 (redondeo al alza al peso)

Paso 4 — verificación.

comisión = 3 095 976 × 0,016 =  49 535,62
seguro   = 3 095 976 × 0,015 =  46 439,64
desembolso = 3 095 976 − 49 535,62 − 46 439,64 = 3 000 000,74  ✔

Paso 5 — interpreta. El cliente firmará por 3 095 976 y recibirá 3 000 000. Pagará intereses sobre el capital firmado, no sobre lo recibido. Ese es exactamente el motivo por el que la tasa de interés no basta para comparar créditos y por el que existe el costo total: clase 13 de la Parte 3.

🏦 Del cliente al banco

El cliente lee un porcentaje y el banco lee una base. La tabla enfrenta las dos lecturas de las mismas cifras, y en cada fila lo que cambia no es el número sino sobre qué se calcula.

🧪 Práctica

El laboratorio pide encadenar descuentos, recuperar bases e identificar asimetrías sobre casos donde la respuesta intuitiva es la equivocada. No es un ejercicio de cálculo: los números son fáciles. Es un ejercicio de detectar cuál es la base antes de operar.

En labs/lab-02.md:

1. Construye una tabla de factores para diez operaciones porcentuales reales de tu vida.
2. Calcula un descuento encadenado de tres tramos y compáralo con la suma ingenua.
3. Genera la tabla de recuperación para caídas de 5 % a 90 % en pasos de 5 puntos.
4. Resuelve tres casos de porcentaje inverso con verificación completa.

⚠️ Errores frecuentes

Los cinco síntomas de la tabla comparten una misma raíz: se aplicó un porcentaje sobre una base distinta de la que correspondía. Reconocer el síntoma lleva directamente a la base equivocada, que es más rápido que revisar la aritmética.

❓ Preguntas de comprobación

1. Un precio baja 25 % y luego sube 25 %. ¿Cuál es la variación total y por qué no es cero?
2. ¿Cuánto debe subir un fondo que perdió 35 % para volver a su valor inicial?
3. Recibes 4 700 000 tras descuentos de 3 % y 2,5 % sobre el capital. ¿Por cuánto firmaste?
4. ¿En qué caso sí es legítimo sumar dos porcentajes?
5. Un informe dice "la morosidad subió 2 %". ¿Qué información necesitas para interpretarlo?

📥 Entregable

Guarda en portfolio/parte-01/clase-03/:

• la tabla de factores multiplicativos de tus diez operaciones;
• el cálculo de descuento encadenado con la comparación contra la suma ingenua;
• la tabla de recuperación tras caídas;
• un caso resuelto de capital bruto con verificación numérica completa.

🔐 Seguridad, ética y límites

Trabaja siempre con datos sintéticos o propios: nunca uses datos reales de terceros, números de cuenta, documentos de identidad ni antecedentes crediticios ajenos. Este material es formativo y no constituye asesoría financiera, tributaria ni legal; las tasas, comisiones, límites y normas citados cambian y deben verificarse en la fuente oficial vigente del país donde se aplique. Cuando un cálculo alimente una decisión que afecte a otra persona, registra los supuestos y quién los aprobó.

📗 Fuentes y verificación

• Ross, S., Westerfield, R. y Jordan, B. (2022). Fundamentos de finanzas corporativas (12.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 6: costo efectivo y efecto de comisiones sobre el desembolso.
• Blank, L. y Tarquin, A. (2018). Ingeniería económica (8.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 3: factores y encadenamiento de tasas.
• Kahneman, D. (2011). Pensar rápido, pensar despacio. Debate. Capítulos sobre encuadre (framing): por qué la presentación de un porcentaje cambia la decisión.
• Thaler, R. y Sunstein, C. (2021). Nudge: la versión final. Taurus. Capítulo sobre transparencia de precios y comparabilidad.
• OECD (2020). Recommendation on Financial Literacy. OCDE. Principios sobre divulgación comprensible de costos.
• Verificación local: contrasta con la norma de tu país sobre publicidad de descuentos y sobre información precontractual de créditos (en Chile, Ley 19.496 y su reglamento de información financiera).