Clase 04 · Variaciones porcentuales e índices

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Parte 01 — Matemática financiera básica · Nivel: Fundamento — sin conocimientos previos · Duración: 90 minutos

🎯 Propósito

Aprender a medir cambios en el tiempo sin dejarse engañar por la base ni por el periodo. Aquí aparecen los tres instrumentos con los que se lee cualquier informe económico o bancario: la variación mes contra mes, la variación de doce meses y el número índice. También se introduce la media geométrica, que es la única forma correcta de promediar crecimientos.

La clase anterior dejó claro que un porcentaje sin base no significa nada. Esta lleva la misma idea a las series de tiempo, donde la base es un periodo y elegir cuál cambia por completo la historia que cuentan los mismos datos. Es el paso de calcular un porcentaje a interpretar una serie, que es lo que hace un analista.

📚 Objetivos

Al finalizar podrás:

1. Calcular variaciones absolutas, relativas y acumuladas sin confundirlas.
2. Construir un número índice con base 100 y explicar qué significa cada punto.
3. Distinguir variación mensual, variación en doce meses y variación acumulada del año.
4. Promediar tasas de crecimiento con media geométrica y demostrar por qué la aritmética miente.
5. Deflactar una serie para separar crecimiento real de crecimiento nominal.

Agenda de 90 minutos

La clase dura noventa minutos y se recorre en cinco tramos. No es un horario rígido: es el orden en que los bloques de esta página se sostienen unos a otros, y por eso conviene respetarlo aunque cambien los tiempos.

Los diez primeros minutos se dedican a recuperar la clase anterior, porque casi todo lo que aquí se explica supone algo que ya se vio. Los veinticinco siguientes desarrollan los conceptos con la fuente oficial a la vista: las referencias del final de la página no son un adorno bibliográfico, se consultan mientras se estudia. Del minuto 35 al 55 se resuelve el ejemplo guiado paso a paso, sin saltarse ninguno, porque el error típico vive precisamente en el paso que parece obvio. Los veinticinco minutos siguientes son de práctica con datos propios o sintéticos —nunca reales de terceros—, que es cuando se comprueba si se entendió. Los diez últimos cierran con las preguntas de comprobación y el registro del entregable.

Si el tiempo aprieta, lo que se recorta es la práctica y se traslada al laboratorio de la parte; lo que no se recorta nunca es el ejemplo guiado.

🧩 Conceptos centrales

Las tres primeras entradas son formas de medir el cambio y responden a preguntas distintas; elegir la equivocada no da un error de cálculo, da una conclusión equivocada. Las cuatro restantes son las herramientas que hacen comparables series que no lo son de entrada. La media geométrica es la que más se omite y la única correcta para promediar crecimientos.

🧠 Modelo mental

Una serie temporal se lee en tres velocidades simultáneas:

mes contra mes    ¿qué pasó ahora?          ruidoso, estacional
doce meses        ¿qué pasó en el año?      limpio de estacionalidad
acumulado         ¿cómo vamos en el año?    depende de en qué mes estemos

Un titular que dice "los precios cayeron" usando la primera velocidad y otro que dice "los precios subieron" usando la segunda pueden ser ambos correctos el mismo día. Leer sin declarar la velocidad es la fuente número uno de malentendidos en información económica.

📖 Desarrollo

1. Las tres variaciones y cuándo usar cada una

Serie de colocaciones de un banco, en miles de millones:

El acumulado no es −0,50 + 1,38 + 1,86 = 2,74 %. Es:

(1 − 0,0050) × (1 + 0,0138) × (1 + 0,0186) − 1 = 0,02750 → 2,750 %

La diferencia es pequeña en tres meses y deja de serlo en doce, o cuando las variaciones son grandes.

2. Números índice

Un índice reescala una serie para que el periodo base valga 100:

índiceₜ = (Valorₜ / Valor_base) × 100

Con base dic año 0 = 100:

Dos lecturas críticas:

• El índice 102,8 significa 2,8 % por sobre el periodo base, no 2,8 %.
• La diferencia entre dos índices se mide en puntos de índice, y su variación relativa se calcula igual que cualquier otra: (102,8 − 99,5) / 99,5 = 3,3 %.

Los índices más usados en este programa: IPC (precios), IMACEC o PIB (actividad), índices bursátiles (Parte 8) y unidades de cuenta indexadas como la UF chilena o la UVR colombiana.

3. Media geométrica: la única forma de promediar crecimientos

Un fondo rinde +50 % un año y −50 % al siguiente.

media aritmética   (0,50 − 0,50) / 2 = 0 %      ← sugiere que quedaste igual
resultado real     1,50 × 0,50 = 0,75 → −25 %   ← perdiste un cuarto
media geométrica   (1,50 × 0,50)^(1/2) − 1 = −13,4 % anual

La media geométrica de −13,4 % aplicada dos veces reproduce exactamente el −25 %. Es el crecimiento constante equivalente y es la cifra que debe publicarse como rentabilidad anualizada. La media aritmética solo coincide cuando todas las variaciones son iguales, y en cualquier otro caso sobreestima. En la Parte 8 esta diferencia se llama volatility drag y explica por qué un fondo volátil rinde menos de lo que su promedio simple sugiere.

4. Nominal y real: deflactar

Comparar cifras de años distintos sin corregir por inflación es comparar unidades diferentes con el mismo nombre. Deflactar es la operación que las vuelve comparables, y son dos fórmulas que conviene tener a mano porque se usan en todo el resto del programa.

valor real = valor nominal × (índice base / índice del periodo)
crecimiento real ≈ (1 + nominal) / (1 + inflación) − 1

Un sueldo que sube 6 % con inflación de 4,5 %:

(1,06 / 1,045) − 1 = 0,01435 → +1,44 % real

La aproximación 6 − 4,5 = 1,5 % funciona con tasas bajas y se rompe con inflación alta:

🧮 Ejemplo guiado

Situación. Los ingresos de una pyme fueron 48, 52, 47, 61 millones en los cuatro trimestres del año. El IPC del periodo acumuló 5,2 %. Se pide el crecimiento del año, el promedio trimestral correcto y el crecimiento real.

Paso 1 — variaciones trimestrales.

T1→T2  52/48 − 1 = +8,33 %
T2→T3  47/52 − 1 = −9,62 %
T3→T4  61/47 − 1 = +29,79 %

Paso 2 — variación acumulada.

1,0833 × 0,9038 × 1,2979 − 1 = 0,27083 → +27,08 %
verificación directa: 61/48 − 1 = 0,27083  ✔

La verificación directa es obligatoria: si el producto de factores no coincide con el cociente extremo a extremo, hay un error de cálculo.

Paso 3 — promedio trimestral correcto.

media geométrica = (1,2708)^(1/3) − 1 = 0,08313 → +8,31 % por trimestre
media aritmética = (8,33 − 9,62 + 29,79) / 3 = +9,50 %   ← sobreestima 1,19 pp

Paso 4 — crecimiento real.

(1,2708 / 1,052) − 1 = 0,20800 → +20,80 % real

Paso 5 — interpreta con límites. La empresa creció 27,1 % nominal y 20,8 % real en el año. El promedio de 8,31 % trimestral es un equivalente aritmético útil para proyectar, no una descripción del comportamiento: el T3 cayó casi 10 % y esa volatilidad es información relevante para el capital de trabajo de la Parte 13, clase 2.

🏦 Del cliente al banco

Un cliente mira cuánto subió su saldo y un banco mira contra qué base lo compara. La tabla enfrenta las dos lecturas, y en todas las filas la diferencia está en el periodo elegido como referencia.

🧪 Práctica

El laboratorio entrega series reales de estructura —no de datos reales de personas— y pide medir el mismo cambio de tres maneras. El objetivo no es practicar la resta: es comprobar que las tres respuestas son correctas y cuentan historias distintas, y decidir cuál corresponde a la pregunta que se hizo.

En labs/lab-02.md, sección de series:

1. Toma 24 meses del dataset datasets/transactions_synthetic.csv agregados por mes.
2. Calcula las tres variaciones (mensual, 12 meses, acumulada) y grafícalas juntas.
3. Construye el índice base 100 en el primer mes.
4. Compara media aritmética contra geométrica y cuantifica el sesgo.
5. Deflacta la serie con una inflación supuesta de 4,0 % anual.

⚠️ Errores frecuentes

Las filas siguientes describen conclusiones equivocadas obtenidas con aritmética correcta, que es la forma más difícil de detectar un error. El síntoma suele ser una cifra que no encaja con lo que se observa; la causa, casi siempre, es la base temporal.

❓ Preguntas de comprobación

1. Una serie sube 10 %, baja 5 % y sube 3 %. ¿Cuál es el acumulado y por qué no es 8 %?
2. Un índice pasa de 128,4 a 133,1. ¿Cuántos puntos subió y cuál es la variación porcentual?
3. ¿Por qué la media aritmética de rentabilidades siempre sobreestima el resultado real?
4. Con inflación de 100 % y salario nominal +120 %, ¿cuánto ganaste realmente?
5. ¿Cuándo la variación mes contra mes es más informativa que la de doce meses?

📥 Entregable

Guarda en portfolio/parte-01/clase-04/:

• la tabla con las tres variaciones y el índice base 100;
• la comparación media aritmética contra geométrica con el sesgo cuantificado;
• la serie deflactada junto a la nominal;
• una conclusión de 200 palabras sobre qué velocidad de lectura usarías para informar a un directorio y por qué.

🔐 Seguridad, ética y límites

Trabaja siempre con datos sintéticos o propios: nunca uses datos reales de terceros, números de cuenta, documentos de identidad ni antecedentes crediticios ajenos. Este material es formativo y no constituye asesoría financiera, tributaria ni legal; las tasas, comisiones, límites y normas citados cambian y deben verificarse en la fuente oficial vigente del país donde se aplique. Cuando un cálculo alimente una decisión que afecte a otra persona, registra los supuestos y quién los aprobó.

📗 Fuentes y verificación

• Mankiw, N. G. (2021). Principios de economía (9.ª ed.). Cengage. Capítulo 24: números índice, IPC y deflactación.
• Blanchard, O. (2021). Macroeconomía (8.ª ed.). Pearson. Capítulo 2: variables nominales y reales, construcción de índices.
• Bodie, Z., Kane, A. y Marcus, A. (2023). Investments (13.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 5: medias aritmética y geométrica de rentabilidades.
• International Labour Organization (2004). Consumer Price Index Manual: Theory and Practice. OIT/FMI/OCDE. Metodología estándar de construcción de índices de precios.
• International Monetary Fund (2020). Quarterly National Accounts Manual. FMI. Capítulo sobre encadenamiento y series desestacionalizadas.
• Verificación local: usa la serie oficial del instituto de estadística de tu país y registra fecha de descarga; los índices se revisan y cambian de base periódicamente.