Clase 02 · Fracciones, decimales y razones

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Parte 01 — Matemática financiera básica · Nivel: Fundamento — sin conocimientos previos · Duración: 90 minutos

🎯 Propósito

Dominar las tres formas de expresar una misma proporción —fracción, decimal y razón— y saber cuándo cada una engaña. Un banco no dice "la mitad": dice 0,5, 50 %, 1:1 o 50 puntos base según el contexto, y cada forma tiene un lector distinto y un riesgo distinto de malinterpretación. Esta clase también instala la unidad que domina la banca profesional: el punto base.

La clase anterior dejó instalado que un número financiero necesita magnitud, momento y signo para significar algo. Esta añade la cuarta pregunta, que es de qué es ese número: la misma cantidad expresada como fracción, decimal, porcentaje o razón dice cosas distintas, y confundirlas produce errores que no parecen errores porque el número resultante es perfectamente creíble.

📚 Objetivos

Al finalizar podrás:

1. Convertir sin error entre fracción, decimal, porcentaje, razón y puntos base.
2. Distinguir una razón parte:parte de una proporción parte:todo, que es la confusión que más ruido genera en informes.
3. Usar puntos base para hablar de tasas con la precisión que exige una mesa de dinero.
4. Detectar cuándo un decimal periódico obliga a fijar una convención de precisión.
5. Leer un ratio financiero identificando qué hay arriba y qué hay abajo.

Agenda de 90 minutos

La clase dura noventa minutos y se recorre en cinco tramos. No es un horario rígido: es el orden en que los bloques de esta página se sostienen unos a otros, y por eso conviene respetarlo aunque cambien los tiempos.

Los diez primeros minutos se dedican a recuperar la clase anterior, porque casi todo lo que aquí se explica supone algo que ya se vio. Los veinticinco siguientes desarrollan los conceptos con la fuente oficial a la vista: las referencias del final de la página no son un adorno bibliográfico, se consultan mientras se estudia. Del minuto 35 al 55 se resuelve el ejemplo guiado paso a paso, sin saltarse ninguno, porque el error típico vive precisamente en el paso que parece obvio. Los veinticinco minutos siguientes son de práctica con datos propios o sintéticos —nunca reales de terceros—, que es cuando se comprueba si se entendió. Los diez últimos cierran con las preguntas de comprobación y el registro del entregable.

Si el tiempo aprieta, lo que se recorta es la práctica y se traslada al laboratorio de la parte; lo que no se recorta nunca es el ejemplo guiado.

🧩 Conceptos centrales

Las cuatro primeras entradas son formas de decir lo mismo, y por eso se confunden. Las dos últimas —el punto base y el ratio— existen precisamente para evitar esa confusión en contextos donde equivocarse cuesta dinero. El término que hay que tener claro antes de seguir es razón, porque es el único que compara dos partes entre sí en vez de comparar una parte con el todo.

🧠 Modelo mental

Toda proporción responde a la pregunta "¿cuánto de esto por cada cuánto de aquello?". Antes de convertir nada, nombra las dos cantidades:

razón     deuda : patrimonio = 3 : 1     por cada 1 de patrimonio hay 3 de deuda
fracción  deuda / activos    = 3/4       la deuda es tres cuartos del total

Son el mismo balance descrito de dos maneras. Confundirlas convierte un apalancamiento de 300 % en uno de 75 % en el mismo párrafo, y eso ocurre en informes reales.

📖 Desarrollo

1. Las cuatro formas y sus conversiones

Las conversiones no se memorizan: se deducen de qué representa cada forma. El esquema siguiente recoge las cuatro direcciones que se usan a diario, y conviene leerlo entero antes de aplicarlo, porque el error habitual no está en la operación sino en no darse cuenta de que hacía falta convertir.

fracción → decimal      dividir:            3/8 = 0,375
decimal  → porcentaje   multiplicar × 100:  0,375 = 37,5 %
porcentaje → pb         multiplicar × 100:  0,375 % = 37,5 pb
pb → decimal            dividir ÷ 10 000:   37,5 pb = 0,00375

La cadena completa, para no perderse nunca:

2. Razón parte:parte frente a proporción parte:todo

Un fondo tiene 60 millones en renta fija y 40 en renta variable.

razón renta fija : renta variable  = 60 : 40 = 3 : 2
proporción de renta fija sobre el total = 60 / 100 = 0,60 = 60 %

Ambas son correctas y describen lo mismo. El error aparece al decir "la razón es 60 %", que mezcla las dos formas. La regla de lectura: si los dos números suman el todo, es proporción; si se comparan entre sí, es razón.

3. Puntos base: por qué la banca inventó otra unidad

Una tasa sube de 4,00 % a 4,25 %. ¿Subió 0,25 % o subió 6,25 %?

en puntos porcentuales   4,25 − 4,00 = 0,25 puntos porcentuales = 25 pb
en variación relativa    (4,25 − 4,00) / 4,00 = 0,0625 = 6,25 %

Las dos afirmaciones son verdaderas y hablan de cosas distintas. El punto base elimina la ambigüedad: "el spread subió 25 pb" no admite dos lecturas. En la Parte 15, clase 7, el precio de un crédito se construye sumando puntos base sobre una tasa base; sin esta unidad esa conversación es imposible.

4. Decimales periódicos y precisión declarada

Hay fracciones que no tienen representación decimal exacta, y el ordenador tampoco la tiene: la corta en algún punto sin avisar. Los dos ejemplos siguientes son los que más aparecen en cálculos financieros, y sirven para entender por qué la precisión se declara en vez de dejarse al azar de la herramienta.

1/3 = 0,333...   2/7 = 0,285714285714...

Ningún sistema financiero guarda infinitos decimales. La consecuencia práctica: cuando repartes un monto en partes iguales, la suma de las partes redondeadas no es el total.

1 000 000 repartido en 3 cuotas
  333 333,33 × 3 = 999 999,99   ← faltan 0,01

La solución profesional es la cuota de ajuste: dos cuotas de 333 333,33 y una de 333 333,34. La misma técnica aparece en la clase 12 con las tablas de amortización y en la Parte 10 con la conciliación.

🧮 Ejemplo guiado

Situación. Un banco publica: cartera de consumo 420 000 millones, cartera hipotecaria 780 000 millones, cartera comercial 1 300 000 millones. La tasa de un crédito pasó de 11,90 % a 12,55 %. Se pide describir la composición y la variación con precisión.

Paso 1 — total y proporciones.

total = 420 000 + 780 000 + 1 300 000 = 2 500 000 millones

consumo     420 000 / 2 500 000 = 0,168  = 16,8 %
hipotecaria 780 000 / 2 500 000 = 0,312  = 31,2 %
comercial 1 300 000 / 2 500 000 = 0,520  = 52,0 %
                                  suma   = 100,0 %  ✔ control

La suma a 100 % es el control obligatorio de toda tabla de composición. Si no suma, hay una partida olvidada o un doble conteo.

Paso 2 — razón entre dos carteras.

comercial : consumo = 1 300 000 : 420 000 ≈ 3,10 : 1

Se lee: "por cada peso colocado en consumo hay 3,10 en comercial". Nótese que no es 310 % de la cartera total; es una razón parte:parte.

Paso 3 — variación de la tasa, en las dos lecturas.

en puntos base       (12,55 − 11,90) × 100 = 65 pb
en variación relativa (12,55 − 11,90) / 11,90 = 0,0546 = 5,46 %

Paso 4 — redacta sin ambigüedad. "La tasa subió 65 puntos base, un alza relativa de 5,5 %." Esta frase es inmune a la confusión; "la tasa subió 0,65 %" no lo es.

🏦 Del cliente al banco

Un cliente piensa en porcentajes y una mesa de dinero piensa en puntos base. No es un capricho de jerga: son unidades distintas porque las decisiones que sostienen tienen escalas distintas. La tabla enfrenta las dos lecturas de las mismas magnitudes.

🧪 Práctica

Los ejercicios del laboratorio obligan a convertir en las cuatro direcciones sobre datos que no avisan de en qué unidad vienen, que es como llegan en la vida real. Si una conversión sale mal, el resultado seguirá teniendo una pinta razonable: por eso cada ejercicio pide además la verificación por un segundo camino.

En labs/lab-01.md, sección de proporciones:

1. Toma el dataset datasets/personal_budget_synthetic.csv y construye la tabla de composición del gasto, verificando que sume 100 %.
2. Expresa tres relaciones como razón parte:parte y explica por qué no son porcentajes.
3. Convierte cinco tasas de porcentaje a puntos base y de vuelta.
4. Reparte 1 000 000 en 7 partes iguales y aplica la cuota de ajuste.

⚠️ Errores frecuentes

Cada fila enfrenta un síntoma con su causa. Conviene fijarse en que casi ninguno de estos errores produce un número imposible; producen números creíbles, que es lo que los hace peligrosos y lo que obliga a verificar aunque el resultado parezca correcto.

❓ Preguntas de comprobación

1. Una cartera se reparte 3:2 entre dos productos. ¿Qué porcentaje del total representa cada uno?
2. La tasa pasa de 6,00 % a 6,90 %. Expresa el cambio en puntos base y en variación relativa.
3. ¿Por qué la suma de tres cuotas redondeadas puede no igualar el capital y cómo se resuelve?
4. ¿Qué información falta para interpretar el ratio "0,42" que aparece en un informe?
5. ¿Cuándo conviene comunicar en fracción y cuándo en puntos base?

📥 Entregable

Guarda en portfolio/parte-01/clase-02/:

• la tabla de composición con control de suma a 100 %;
• tres razones parte:parte correctamente redactadas;
• una tabla de conversión de cinco tasas entre las cuatro formas;
• el ejercicio de cuota de ajuste con la comprobación del total.

🔐 Seguridad, ética y límites

Trabaja siempre con datos sintéticos o propios: nunca uses datos reales de terceros, números de cuenta, documentos de identidad ni antecedentes crediticios ajenos. Este material es formativo y no constituye asesoría financiera, tributaria ni legal; las tasas, comisiones, límites y normas citados cambian y deben verificarse en la fuente oficial vigente del país donde se aplique. Cuando un cálculo alimente una decisión que afecte a otra persona, registra los supuestos y quién los aprobó.

📗 Fuentes y verificación

• Brealey, R., Myers, S. y Allen, F. (2023). Principios de finanzas corporativas (14.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 3: expresión de tasas y convenciones de mercado.
• Bodie, Z., Kane, A. y Marcus, A. (2023). Investments (13.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 2: uso del punto base en instrumentos de renta fija.
• Fabozzi, F. (2021). Bond Markets, Analysis, and Strategies (10.ª ed.). MIT Press. Capítulo 2: spreads expresados en puntos base.
• Blank, L. y Tarquin, A. (2018). Ingeniería económica (8.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 2: manejo de precisión y convenciones de redondeo.
• Bank for International Settlements. BIS Statistical Bulletin — convenciones de publicación de tasas y spreads. https://www.bis.org/statistics/bulletin.htm
• Verificación local: revisa cómo expresa las tasas el regulador bancario de tu país (anual, mensual, base 360 o 365) antes de comparar cifras entre fuentes.