🧮 Computational Mathematics

Inicio · Parte 00 — Pensamiento matemático desde cero

017 — Patrones, secuencias y regularidades

cero-absoluto clase 17 de 20 4 horas demostración sequences

Detectar una regla en una secuencia es una conjetura; extrapolarla sin justificación es un salto injustificado.

Fórmulas

aritmética:  aₙ = a₁ + (n−1)d
geométrica:  aₙ = a₁·rⁿ⁻¹
Fibonacci:   Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂,  Fₙ₊₁/Fₙ → φ = (1+√5)/2

Desarrollo

Ver un patrón es barato; demostrarlo no. Dada la secuencia 3, 7, 11, 15, la regla «suma 4» es la más simple, pero infinitas fórmulas producen esos cuatro términos y luego divergen. La matemática distingue entre conjeturar una regla y demostrarla, y esa distinción es el puente entre esta clase y la 091 (inducción).

Las dos familias fundamentales se distinguen por qué operación es constante. En la aritmética lo constante es la diferencia entre términos consecutivos; su crecimiento es lineal. En la geométrica lo constante es la razón; su crecimiento es exponencial. Confundirlas al modelar produce predicciones que fallan por órdenes de magnitud, no por un poco.

Fibonacci añade un tercer tipo: la recurrencia, donde cada término depende de varios anteriores. Su comportamiento asintótico es sorprendente y demostrable: el cociente entre términos consecutivos converge a la razón áurea φ ≈ 1.618, que es la raíz positiva de x² = x + 1. Que una recurrencia de enteros converja a un irracional es un buen ejemplo de que el comportamiento asintótico no se lee en los primeros términos.

El hábito que instala esta clase: al proponer una regla, indicar qué operación permanece constante y hasta dónde se ha verificado. «Suma 4, verificado en 4 términos» es una afirmación honesta; «la regla es sumar 4» no lo es.

Ejemplo trabajado

Tres secuencias y su regla.

Aritmética:  3, 7, 11, 15, 19        diferencia constante = 4
             a₆ = 3 + 5·4 = 23

Geométrica:  2, 6, 18, 54, 162       razón constante = 3
             a₆ = 2·3⁵ = 486

Fibonacci:   1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
             55/34 = 1.6176...
             φ     = 1.6180...       converge, no coincide aún

La secuencia aritmética crece 4 por paso; la geométrica multiplica por 3 por paso. En diez pasos la primera llega a 39 y la segunda a 39366.

Qué calcula el laboratorio

Detectar la regla de una secuencia y extrapolarla con cuidado.

python classes/part-00-pensamiento-matematico-desde-cero/017-patrones-secuencias-y-regularidades/lab.py
compmath run 017

Salidas del laboratorio (8)

Muestra de la ejecución real

{
  "aritmetica": [
    3,
    7,
    11,
    15,
    19
  ],
  "diferencia_comun": 4,
  "siguiente_aritmetica": 23,
  "geometrica": [
    2,
    6,
    18,
    54,
    162
  ],
  "razon_comun": 3,
  "fibonacci_10": [
    1,
    1,
    2,
    3,
    5,
    8,
    13,
    21,
    34,
    55
  ]
}

Errores comunes

Dónde se usa

Análisis de complejidad (parte 04), crecimiento compuesto (parte 02), series temporales (parte 13) y la lectura de curvas de aprendizaje: distinguir si un error baja linealmente o exponencialmente cambia por completo la decisión."

Idea rectora de la parte

Fracción exacta y decimal aproximado no son el mismo objeto computacional.

Error a evitar

Confundir aumento del 50 % con multiplicar por 50.

Conexión con IA

Toda métrica de un modelo (accuracy, loss, learning rate) es una razón, un porcentaje o una escala. Interpretarlas mal es el primer error de un practicante de IA.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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