🧮 Computational Mathematics

Inicio · Parte 00 — Pensamiento matemático desde cero

018 — Problemas verbales a lenguaje matemático

cero-absoluto clase 18 de 20 4 horas demostración word_problem

Modelar es traducir un enunciado a ecuaciones declarando qué representa cada símbolo.

Fórmulas

sistema 2×2:  x + y = T,   p₁x + p₂y = M
solución:  y = (M − p₁T)/(p₂ − p₁),  x = T − y

Desarrollo

La dificultad de un problema verbal casi nunca está en el álgebra: está en la traducción. El procedimiento fiable tiene cuatro pasos y conviene seguirlos en orden: (1) nombrar las incógnitas con su unidad, (2) escribir una ecuación por cada restricción del enunciado, (3) resolver el sistema, (4) comprobar que la solución tiene sentido en el problema original, no solo en las ecuaciones.

El paso 4 es el que más se omite y el que más errores atrapa. Un sistema puede tener solución matemática y ninguna solución real: si el reparto da −3 unidades de un producto, el modelo es correcto y el enunciado es imposible. Distinguir «no hay solución» de «el modelo está mal» exige volver al enunciado.

Contar restricciones es el control de sanidad previo. Dos incógnitas necesitan dos ecuaciones independientes; con una sola hay infinitas soluciones, y con tres es probable que el sistema sea incompatible. Esta cuenta reaparece en la parte 05 como la relación entre rango, número de incógnitas y existencia de solución.

Polya, en How to Solve It (1945), sistematizó este método en cuatro fases: comprender el problema, concebir un plan, ejecutarlo y examinar la solución. Sigue siendo la mejor descripción del proceso, y su última fase —examinar— es exactamente el paso que la prisa elimina.

Ejemplo trabajado

«Se venden 30 unidades entre dos productos, uno a 1500 y otro a 2500, recaudando 61 000. ¿Cuántas de cada uno?»

Paso 1 — incógnitas con unidad
  x = unidades del producto A
  y = unidades del producto B

Paso 2 — una ecuación por restricción
  x + y = 30                    (total de unidades)
  1500x + 2500y = 61000         (recaudación)

Paso 3 — resolver
  y = (61000 − 1500·30)/(2500 − 1500) = 16000/1000 = 16
  x = 30 − 16 = 14

Paso 4 — comprobar contra el enunciado
  14 + 16 = 30                            ✓
  1500·14 + 2500·16 = 21000 + 40000 = 61000 ✓
  ambas cantidades ≥ 0 → solución factible  ✓

Qué calcula el laboratorio

Traducir un enunciado a ecuaciones y resolverlo.

python classes/part-00-pensamiento-matematico-desde-cero/018-problemas-verbales-a-lenguaje-matematico/lab.py
compmath run 018

Salidas del laboratorio (6)

Muestra de la ejecución real

{
  "enunciado": "30 unidades entre dos productos suman 61000",
  "unidades_producto_a": 14.0,
  "unidades_producto_b": 16.0,
  "verificacion_unidades": 30.0,
  "verificacion_dinero": 61000.0,
  "solucion_valida": true
}

Errores comunes

Dónde se usa

Es la habilidad central del modelado: formular un problema real como un objeto matemático. Reaparece en cada capstone del programa, y en la parte 12 como la construcción de la función objetivo y sus restricciones."

Idea rectora de la parte

Proporcionalidad es la primera función lineal que aprendemos sin llamarla así.

Error a evitar

Escribir 1/3 como 0.33 y arrastrar el error a todo el cálculo.

Conexión con IA

Toda métrica de un modelo (accuracy, loss, learning rate) es una razón, un porcentaje o una escala. Interpretarlas mal es el primer error de un practicante de IA.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

← 017 Patrones, secuencias y regularidades 019 Comprobación y contraejemplos →