Inicio · Parte 00 — Pensamiento matemático desde cero
directa: y/x = k ⟹ y = kx
inversa: x·y = k ⟹ y = k/x
producto cruzado: a/b = c/d ⟺ ad = bcLa «regla de tres» se enseña como una receta y por eso se aplica mal: se usa la directa donde corresponde la inversa. El criterio para decidir no es el enunciado sino la pregunta ¿qué permanece constante?. Si al duplicar x se duplica y, lo constante es el cociente y hay proporcionalidad directa. Si al duplicar x se reduce y a la mitad, lo constante es el producto y la proporcionalidad es inversa.
Casos típicos de cada una: el precio total frente a la cantidad comprada es directo (más unidades, proporcionalmente más precio). El tiempo de una obra frente al número de trabajadores es inverso (más trabajadores, proporcionalmente menos tiempo), bajo el supuesto —rara vez cierto en la práctica— de que los trabajadores no se estorban. Declarar ese supuesto es parte del modelado.
La proporcionalidad directa es la primera función lineal del programa. y = kx es una recta por el origen, y su generalización a varias variables, y = Wx, es exactamente lo que hace una capa densa de una red neuronal (clase 110). Quien internaliza aquí que «k es cuánto cambia y por cada unidad de x» ya tiene la intuición correcta de lo que es un peso en un modelo lineal.
Una advertencia que el programa repetirá: la proporcionalidad es un modelo, no una ley. Casi ninguna relación real es proporcional en todo su rango. El precio por unidad baja con el volumen, el rendimiento por trabajador cae con el tamaño del equipo, y el error de un modelo no baja proporcionalmente con los datos. Usar la regla de tres fuera de su rango de validez es el error de modelado más frecuente.
Si 4 unidades cuestan 10, ¿cuánto cuestan 6?
Directa (precio ∝ cantidad):
10/4 = x/6 → x = 10·6/4 = 15
comprobación cruzada: 4·15 = 60 = 10·6 ✓
Si en cambio el problema fuera: 4 trabajadores tardan 10 días,
¿cuánto tardan 6?
Inversa (tiempo ∝ 1/trabajadores):
4·10 = 6·x → x = 40/6 = 6.67 días
comprobación: el producto se conserva, 40 = 40 ✓El mismo par de números da 15 o 6.67 según el tipo de proporcionalidad. Elegir mal no produce un error pequeño: produce una respuesta sin relación con la pregunta.
Proporcionalidad directa e inversa comparadas sobre el mismo dato.
python classes/part-00-pensamiento-matematico-desde-cero/007-regla-de-tres-y-escalas/lab.py
compmath run 007si_4_cuesta_10proporcion_directaproporcion_inversaproducto_cruzado_directaproducto_constante_inversa{
"si_4_cuesta_10": "¿cuánto cuestan 6?",
"proporcion_directa": 15.0,
"proporcion_inversa": 6.666666666666667,
"producto_cruzado_directa": true,
"producto_constante_inversa": true
}Escalado de recursos, conversión de unidades, ajuste de recetas y presupuestos. En IA es el modelo mental correcto para el learning rate y para leer una ley de escala, cuya forma es una proporcionalidad en escala logarítmica (clase 359).
Toda métrica de un modelo (accuracy, loss, learning rate) es una razón, un porcentaje o una escala. Interpretarlas mal es el primer error de un practicante de IA.
9780691164076 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).