Inicio · Parte 00 — Pensamiento matemático desde cero
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
a⁰ = 1 (a ≠ 0), a⁻ⁿ = 1/aⁿCon exponentes naturales, las leyes son literalmente contar: a³·a² es (a·a·a)·(a·a), cinco factores, luego a⁵. Nada que memorizar. Lo interesante ocurre al extender la definición fuera de los naturales, porque ahí ya no hay «número de factores» que contar.
La extensión no es arbitraria: se elige la única que mantiene las leyes válidas. Si queremos que aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ siga siendo cierto con n = 0, entonces aᵐ·a⁰ = aᵐ, y por tanto a⁰ debe ser 1. Con el mismo argumento, aⁿ·a⁻ⁿ = a⁰ = 1 obliga a definir a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Este patrón —extender una definición preservando las propiedades estructurales— es cómo funciona buena parte de la matemática, y reaparecerá en la clase 009 con los exponentes fraccionarios.
El caso 0⁰ queda genuinamente indefinido: los dos argumentos naturales (a⁰ = 1 y 0ⁿ = 0) apuntan a valores distintos. En análisis se toma convencionalmente 0⁰ = 1 porque hace que las series de potencias funcionen sin caso especial, y Python devuelve 1; conviene saber que es un convenio, no un teorema.
La ley que más se confunde es la de la potencia iterada. (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ pero a^(mⁿ) es otra cosa completamente distinta, y la potenciación asocia por la derecha: 232 es 2(32) = 2⁹ = 512, no (2³)² = 64. La clase 010 vuelve sobre esto.
Verificar las leyes con a = 2, m = 5, n = 3.
Producto: 2⁵ · 2³ = 32 · 8 = 256
2⁵⁺³ = 2⁸ = 256 ✓
Potencia: (2⁵)³ = 32³ = 32768
2⁵ˑ³ = 2¹⁵ = 32768 ✓
Extensión: 2⁰ = 1
2⁻³ = 1/8 = 0.125
2³ · 2⁻³ = 8 · 0.125 = 1 = 2⁰ ✓Cada igualdad es una comprobación independiente. Si alguna fallara, la implementación —no la matemática— tendría un error.
Leyes de exponentes verificadas numéricamente.
python classes/part-00-pensamiento-matematico-desde-cero/008-potencias-y-leyes-de-exponentes/lab.py
compmath run 008a^m * a^na^(m+n)ley_producto_ok(a^m)^na^(m*n)ley_potencia_oka^0a^-n{
"a^m * a^n": 256.0,
"a^(m+n)": 256.0,
"ley_producto_ok": true,
"(a^m)^n": 32768.0,
"a^(m*n)": 32768.0,
"ley_potencia_ok": true
}Complejidad exponencial (parte 04), crecimiento compuesto (parte 02), tamaño del espacio de búsqueda de una contraseña (clase 087) y el conteo de parámetros de un modelo. La escala logarítmica de la clase 011 es la inversa de esta.
Toda métrica de un modelo (accuracy, loss, learning rate) es una razón, un porcentaje o una escala. Interpretarlas mal es el primer error de un practicante de IA.
10.1007/978-1-4612-0335-5, pendiente de resolver.10.48550/arxiv.math/9205211 verificado en DataCite (2026-08-19).