026 — Teorema de Bayes y actualización de creencias

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Parte: 02 — IA probabilística, evolutiva y de decisión
Nivel: intermedio · Horas estimadas: 6
Laboratorio: probability · Estado: EXECUTABLE_CORE

🎯 Propósito

Comprender teorema de bayes y actualización de creencias dentro de la evolución de la inteligencia artificial, implementar un experimento mínimo verificable y distinguir qué parte constituye evidencia frente a una afirmación todavía no comprobada.

📚 Resultados de aprendizaje

Al finalizar podrás:

  1. Explicar teorema de bayes y actualización de creencias usando los conceptos Bayes, prior, likelihood, posterior.
  2. Ejecutar el laboratorio con una semilla explícita y revisar su contrato JSON.
  3. Identificar al menos un supuesto, una limitación y un riesgo de aplicación.
  4. Comparar el enfoque con la etapa anterior de la ruta de aprendizaje.
  5. Producir una evidencia reproducible y una conclusión que no exceda los datos.

🧩 Conceptos centrales

Bayes, prior, likelihood, posterior

🗺️ Ubicación en el mapa de la IA

La clase anterior estableció la probabilidad como lenguaje de creencias; esta clase da el mecanismo de actualización: el teorema de Bayes convierte creencias previas más evidencia en creencias posteriores, de forma matemáticamente obligada (no opcional). Es el corazón operativo de la IA probabilística: el clasificador naive Bayes, el filtrado en HMM (028), la inferencia en redes bayesianas (027) y la programación probabilística (035) son, en el fondo, aplicaciones repetidas de esta única ecuación de 1763.

📖 Fundamentos

📜 El teorema

De la regla del producto P(a ∧ b) = P(a|b)P(b) = P(b|a)P(a) se despeja:

              P(e | H) · P(H)
P(H | e) = ───────────────────
                  P(e)

P(H)     prior       — creencia antes de ver la evidencia
P(e|H)   likelihood  — qué tan compatible es la evidencia con la hipótesis
P(e)     evidencia   — constante de normalización: Σ_h P(e|h)P(h)
P(H|e)   posterior   — creencia actualizada

Su valor práctico: solemos conocer la dirección causal P(síntoma | enfermedad) (estable, medible en estudios) y necesitamos la dirección diagnóstica P(enfermedad | síntoma) (la que cambia con cada epidemia, porque depende del prior). Bayes hace la inversión con contabilidad correcta.

🔁 Actualización secuencial

Con evidencias e₁, e₂, … el posterior de hoy es el prior de mañana:

P(H | e₁, e₂) ∝ P(e₂ | H, e₁) · P(H | e₁)

Si las evidencias son condicionalmente independientes dado H (supuesto naive Bayes), el término se simplifica a P(e₂|H) y la actualización es un producto de likelihoods sobre el prior. El orden de llegada de la evidencia no altera el posterior final.

🧾 Forma en odds: la versión mental

Para hipótesis binarias conviene trabajar con momios (odds) O(H) = P(H)/P(¬H):

O(H | e) = O(H) · LR      donde  LR = P(e|H) / P(e|¬H)

El factor de Bayes / razón de verosimilitud (LR) mide cuánta fuerza probatoria tiene la evidencia: LR = 1 no informa; LR = 10 multiplica los momios por 10. Esta forma evita la falacia de la tasa base porque obliga a partir de los momios previos.

🧪 Estimación y suavizado

Cuando los parámetros se estiman de datos, la frecuencia cruda count(x)/N asigna probabilidad 0 a lo no visto, y un solo cero aniquila cualquier producto de likelihoods. El suavizado de Laplace añade pseudo-conteos: P(x) = (count(x)+α)/(N+αk) con k valores posibles. Es, en términos bayesianos, un prior Dirichlet sobre los parámetros.

🧠 Interpretación

🧮 Ejemplo trabajado

Test diagnóstico. Prevalencia P(D) = 0.01, sensibilidad P(+|D) = 0.99, especificidad P(−|¬D) = 0.95 (es decir, tasa de falsos positivos 0.05). Llega un resultado positivo.

P(+) = P(+|D)P(D) + P(+|¬D)P(¬D)
     = 0.99·0.01  + 0.05·0.99
     = 0.0099     + 0.0495     = 0.0594

P(D|+) = 0.0099 / 0.0594 = 0.1667  ≈ 1/6

Con un test "99 % sensible", el positivo solo implica ~17 % de probabilidad de enfermedad: de 10 000 personas, 99 enfermas dan positivo verdadero pero 495 sanas dan falso positivo. Segundo test positivo independiente (posterior como nuevo prior):

O(D|+) = (0.1667/0.8333) = 0.2 ;  LR = 0.99/0.05 = 19.8
O(D|++) = 0.2 · 19.8 = 3.96  →  P(D|++) = 3.96/4.96 = 0.798

Dos positivos elevan la creencia a ~80 %. La tabla resume la trayectoria de la creencia:

Evidencia acumulada P(D)
ninguna (prior) 0.010
un positivo 0.167
dos positivos 0.798
tres positivos 0.987

📊 Propiedades y comparación

Propiedad Actualización bayesiana Estimación frecuentista (MLE) Reglas ad hoc (scores)
Usa conocimiento previo Sí (prior explícito) No Implícito y opaco
Coherencia al encadenar evidencia Garantizada N/A No garantizada
Datos pequeños Robusta (prior regulariza) Sobreajusta / ceros Frágil
Costo Necesita likelihood y prior Solo datos Bajo
Crítica principal Subjetividad del prior Ignora la tasa base Sin semántica 
flowchart LR
    P["Prior P(H)"] --> M["× Likelihood P(e|H)"]
    E["Evidencia e observada"] --> M
    M --> N["Normalizar por P(e)"]
    N --> Q["Posterior P(H|e)"]
    Q -->|"nueva evidencia e2"| M
    Q --> D["Decisión con costos<br/>(clase 030)"]

⚠️ Errores conceptuales frecuentes

  1. Falacia de la tasa base: interpretar P(+|D) = 0.99 como P(D|+) ≈ 0.99. El ejemplo trabajado muestra que con prevalencia 1 % el posterior es ~0.17.
  2. Falacia del fiscal: confundir P(evidencia | inocente) pequeña con P(inocente | evidencia) pequeña; ignora cuántos inocentes hay en la población de referencia.
  3. Contar dos veces la evidencia correlacionada: multiplicar likelihoods de dos tests que comparten mecanismo de error como si fueran independientes infla el posterior.
  4. Prior 0 o 1: asignar probabilidad exacta 0 a una hipótesis la hace irrecuperable ante cualquier evidencia (con P(H)=0, el posterior es 0 para siempre). Regla práctica de Cromwell: reservar 0/1 para lógica, no para creencias empíricas.
  5. "El prior es trampa subjetiva": no declararlo no lo elimina; el MLE equivale a un prior uniforme implícito. La honestidad está en declararlo y hacer análisis de sensibilidad.

🚀 Del aprendizaje a la operación

Aquí los parámetros (prevalencia, sensibilidad) se dan como conocidos; en operación se estiman con intervalos de confianza y caducan (la prevalencia cambia con el tiempo y el lugar). Un sistema real necesita: recalibración periódica del prior con datos frescos, verificación de la independencia asumida entre fuentes de evidencia, suavizado ante eventos no vistos y umbrales de decisión derivados de costos clínicos o de negocio, no del 0.5 por defecto.

🧪 Laboratorio

python lab.py

El laboratorio llama a ai_evolution.labs.run_lab("probability"). Esta decisión evita 183 implementaciones divergentes: cada clase tiene un entrypoint propio, pero los motores didácticos se prueban como una biblioteca común.

🔍 Evidencia esperada

📓 Notebooks

📝 Evaluación

Criterio Peso
Comprensión conceptual 25 %
Ejecución reproducible 25 %
Interpretación basada en evidencia 25 %
Riesgos, límites y mejora propuesta 25 %

Consulta assessment.md para preguntas y criterio de aceptación.

⚠️ Errores comunes

Síntoma Causa probable Corrección
El código corre, pero no hay conclusión Se confundió ejecución con aprendizaje Explica qué demuestra y qué no demuestra
El resultado cambia sin explicación No se registró semilla o configuración Conserva semilla, versión y parámetros
Se promete uso real Se extrapoló desde una demo educativa Declara entorno, datos, límites y revisión humana
Se copia una métrica aislada No existe baseline ni costo de error Añade comparación y criterio de decisión

❓ Preguntas frecuentes

¿Debo usar una API comercial?
No. El núcleo funciona localmente. Las extensiones LIVE se documentan por separado.

¿El laboratorio representa una implementación industrial?
No por sí solo. Enseña el contrato y el patrón; producción exige integración, seguridad, observabilidad, pruebas y operación.

¿Dónde profundizo?
Revisa las especializaciones enlazadas en el README raíz y la ruta siguiente.

🔗 Referencias

📜 Papers que fundamentan esta clase

Bloque generado por python scripts/link_papers_to_classes.py. La fuente es papers/catalog/papers.json.

Paper Año Qué desbloqueó Miniatura
P87 · Ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades 1763 La regla que invierte el condicional: pasar de «qué esperaría ver si la hipótesis fuese cierta» a «cuán probable es la hipótesis dado lo que he visto». notebook

Cada ficha explica el problema anterior, la matemática mínima, los límites y los errores de atribución más frecuentes. Para leerlas con método: cómo leer un paper de IA · anexos matemáticos.

📚 Bibliografía de apoyo

Bloque generado por python scripts/link_sources_to_classes.py. Cada obra lleva su localizador verificado en sources/bibliography.json.

Los papers dicen de dónde salió el mecanismo. Estas obras lo desarrollan con el espacio que una clase no tiene: teoría completa, demostraciones y ejercicios.

Obra Edición Localizador Papel en esta clase
Jurafsky, Daniel y Martin, James H. — Speech and Language Processing 2.ª (la 3.ª circula como borrador abierto sin ISBN) · 2009 ISBN 9780131873216 · web de la obra citada en las referencias de esta clase
Murphy, Kevin P. — Probabilistic Machine Learning 2022 ISBN 9780262046824 · web de la obra citada en las referencias de esta clase · cap. 4
Russell, Stuart J. y Norvig, Peter — Artificial Intelligence: A Modern Approach 4.ª · 2020 ISBN 9780134610993 · web de la obra citada en las referencias de esta clase · cap. 12 · obra de referencia de la parte 02
Koller, Daphne y Friedman, Nir — Probabilistic Graphical Models: Principles and Techniques 2010 ISBN 9780262013192 · web de la obra obra de referencia de la parte 02 · modelos gráficos probabilísticos
Pearl, J. — Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems 1988 ISBN 9780080514895 obra de referencia de la parte 02 · redes de creencia

⬅️ Clase anterior

025 — Razonamiento con incertidumbre

➡️ Siguiente clase

027 — Redes bayesianas e independencia condicional

📝 Evaluación completa

❓ Preguntas

  1. Define teorema de bayes y actualización de creencias sin usar una marca o framework como definición.
  2. Explica la relación entre Bayes, prior, likelihood, posterior.
  3. Ejecuta lab.py dos veces con la misma semilla. ¿Qué debe conservarse?
  4. Identifica una afirmación permitida y una afirmación exagerada sobre el resultado.
  5. Propón una prueba negativa o un caso límite.

🏆 Reto verificable

Amplía el resultado del laboratorio con una clave student_extension que incluya:

✅ Criterio de aceptación