P87 — Teorema de Bayes

Ruta probabilística · La regla que invierte el condicional. Y el error de razonamiento más caro del mundo: olvidar cuánta gente está enferma antes de leer el positivo.

Nivel: L2 · Motor: bayes · Notebook: P87_bayes.ipynb · Anexo: probabilidad y verosimilitud

1. Identificación

Campo Valor
Título original An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances
Autoría Thomas Bayes · publicado póstumamente por Richard Price
Año 1763
Venue Philosophical Transactions of the Royal Society, 53, 370–418
Fuente primaria doi:10.1098/rstl.1763.0053
Acceso Abierto
Fecha de consulta 2026-08-17

2. Problema anterior

La probabilidad del siglo XVIII sabía resolver la pregunta directa: dada una urna con una proporción conocida de bolas blancas, ¿qué probabilidad hay de sacar tres blancas seguidas?

La pregunta que hace falta para aprender de la experiencia es la inversa: he sacado tres bolas blancas, ¿qué proporción tiene la urna? Y esa no tenía tratamiento. Sin ella no se puede pasar de los datos a la causa, que es exactamente lo que hacen la ciencia y cualquier sistema que aprenda.

3. Propuesta

Tratar la cantidad desconocida como una variable con distribución previa, y actualizarla con la verosimilitud de lo observado:

P(H | D) = P(D | H) · P(H) / P(D)

Bayes lo plantea con una mesa de billar: una bola cae en una posición desconocida y otras van cayendo a su izquierda o a su derecha. Cada observación reduce el rango plausible de la primera.

La forma que hoy se usa —y la generalización a cualquier problema— es de Laplace, que la redescubre independientemente veinte años después y le da su alcance.

4. Intuición sin fórmulas

Un detector de humo en una cocina. Suena. ¿Hay fuego?

Depende de dos cosas que la pregunta no menciona: cuántas veces suena cuando hay fuego, y cuántos incendios hay en esa cocina. Si el detector es buenísimo pero nunca hay incendios, casi todas las alarmas son falsas — y no porque el detector falle.

Dónde deja de funcionar la analogía: el detector de humo tiene una tasa de fallo estable. En la mayoría de los problemas reales, sensibilidad y prevalencia se estiman con error, y ese error se propaga al resultado.

5. Matemática mínima

P(H | D) = P(D | H) · P(H) / P(D)

En odds, que es donde se entiende:
    odds posteriores = odds previas × razón de verosimilitud
    razón de verosimilitud = sensibilidad / (1 − especificidad)

La miniatura evalúa la misma prueba —99 % de sensibilidad y especificidad— en tres poblaciones:

Escenario Prevalencia P(enfermo | positivo) De cada 100 positivos, sanos
cribado poblacional 0,001 0,0902 91
grupo de riesgo 0,05 0,8390 16
con síntomas claros 0,40 0,9851 1

Un factor de once entre la primera fila y la tercera, con la misma prueba. Y en odds la actualización es una multiplicación: cada positivo independiente multiplica por 99, así que tres llevan de 0,001 a 0,999.

La simulación sobre 100 000 personas lo confirma contando: 985 de los 1 095 positivos están sanos.

💡 Consejo

Puente matemático. Esta sección da por sabido lo siguiente. Si algo no te suena, léelo primero: está explicado una sola vez, en un solo sitio, y sirve para todas las fichas.

Dónde Qué necesitas de ahí
A02 §3 · Verosimilitud y entropía cruzada qué es la verosimilitud P(D|H) y por qué no es lo mismo que P(H|D)

6. Arquitectura o flujo

flowchart LR
    PR["previa P(H)<br/>cuánta gente está enferma"] --> B["regla de Bayes"]
    V["verosimilitud P(D|H)<br/>qué mide la prueba"] --> B
    B --> PO["posterior P(H|D)<br/>qué creer tras el positivo"]
    PO -.->|"se convierte en la previa<br/>de la siguiente prueba"| PR
    style PO fill:#1a3a2a,stroke:#3fb950,color:#f0f6fc

7. Qué observar en el paper original

8. Evidencia y resultados

Es un artículo matemático del siglo XVIII: propone el problema, construye la solución con un argumento geométrico sobre la mesa de billar y la demuestra.

No hay experimento ni datos. Y hay una parte del ensayo —la aproximación numérica— que es densa incluso para el lector actual, y que casi nunca se lee.

La miniatura de este eje no reproduce el ensayo: aplica la regla al caso donde su consecuencia es más contraintuitiva y más consecuente, y la comprueba contando personas además de calculando.

9. Impacto

10. Limitaciones

  1. La previa hay que ponerla. De dónde sale cuando no se sabe nada es un problema abierto, y con pocos datos la elección domina el resultado.
  2. La independencia entre pruebas casi nunca se cumple. Multiplicar razones de verosimilitud de dos pruebas correlacionadas sobreestima la certeza, a veces mucho.
  3. Sensibilidad y especificidad se estiman, con su propio intervalo, y ese error se propaga.
  4. El cálculo se vuelve intratable con muchas variables: es el problema que motiva las redes bayesianas dos siglos después.
  5. La atribución histórica es confusa: la regla moderna es de Laplace, y el propio ensayo es más limitado de lo que su fama sugiere.

11. Errores comunes

Error Corrección
«P(positivo enfermo) es lo mismo que P(enfermo
«Una prueba con 99 % de exactitud acierta el 99 % de las veces que da positivo» Depende por completo de la prevalencia. Con prevalencia 0,001, el 91 % de los positivos están sanos.
«Bayes formuló la regla que usamos hoy» El ensayo trata un problema concreto sobre una mesa de billar. La forma general y su aplicación son de Laplace.
«Repetir la prueba resuelve el problema» Solo si los errores son independientes. Dos pruebas del mismo tipo suelen fallar por la misma razón, y multiplicar sus razones de verosimilitud infla la certeza.
«La previa es subjetiva, luego el método no es científico» La previa es explícita y discutible, que es más de lo que ofrecen los supuestos implícitos de cualquier otro método. Con datos suficientes, además, deja de dominar.

12. Relación con trabajos anteriores

13. Relación con trabajos posteriores

14. Notebook asociado

P87_bayes.ipynb

Qué implementa: el cálculo del posterior para la misma prueba en cuatro poblaciones distintas, la actualización en odds con pruebas sucesivas, y una simulación sobre 100 000 personas que llega al mismo resultado contando.

Qué NO implementa: no hay previas continuas, ni estimación de sensibilidad con incertidumbre, ni dependencia entre pruebas. Los tres son lo que complica el caso real.

ai-evolution paper-lab P87 --seed 7

15. Actividades Bloom

Nivel Actividad
Recordar Escribe la regla de Bayes e identifica cada término.
Explicar Explica por qué la prevalencia cambia la respuesta.
Aplicar Ejecuta el notebook y calcula el posterior para una prevalencia de 0,01.
Analizar Analiza por qué la simulación por conteo da lo mismo que la fórmula.
Evaluar «La prueba tiene un 99 % de exactitud, luego un positivo es casi seguro». Evalúa la afirmación.
Crear Aplica la regla a un detector de fraude real: estima tasa base, sensibilidad y especificidad, y calcula qué proporción de alertas serán falsas.

16. Autoevaluación

  1. ¿Qué pregunta responde la regla que la probabilidad directa no responde?
  2. ¿Qué es la tasa base y por qué importa?
  3. ¿Qué es la razón de verosimilitud?
  4. ¿Por qué en odds la actualización es una multiplicación?
  5. ¿Qué supone encadenar varias pruebas?
  6. ¿Quién formuló la regla en su forma actual?
  7. ¿De dónde sale la previa?

17. Respuestas esperadas

  1. La inversa: qué causa es probable dados los datos observados, en lugar de qué datos esperar dada una causa conocida. Es la que hace falta para aprender de la experiencia.
  2. La proporción de casos positivos en la población a la que se aplica la prueba. Importa porque determina cuántos de los positivos son falsos: con prevalencia 0,001 y una prueba del 99 %, 91 de cada 100 positivos están sanos.
  3. El cociente sensibilidad / (1 − especificidad): cuántas veces más probable es ese resultado si la hipótesis es cierta que si no lo es.
  4. Porque la regla de Bayes en forma de odds separa limpiamente lo previo de la evidencia: cada dato independiente multiplica las odds por su razón de verosimilitud.
  5. Independencia condicional entre ellas. En la práctica dos pruebas del mismo tipo fallan por las mismas causas, y multiplicar sus razones sobreestima la certeza.
  6. Laplace, de forma independiente y veinte años después. El ensayo de Bayes trata un caso concreto sobre una mesa de billar.
  7. Del conocimiento del dominio, de datos anteriores o de un criterio de no informatividad. Es explícita y discutible, que es su ventaja: los supuestos de otros métodos no lo son.

18. Fuentes primarias

⬅️ Anterior: P86 Competición M4 · 📇 Índice · 📝 Evaluación · 🏫 Clase 026 · Teorema de Bayes y actualización de creencias · ➡️ Siguiente: P88 Teorema de Cox