Clase 04 · Anualidades vencidas

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Parte 07 — Matemática financiera avanzada · Nivel: Avanzado — perfil analista · Duración: 90 minutos

🎯 Propósito

Dominar la estructura de flujo más común de las finanzas: una serie de pagos iguales al final de cada periodo. Créditos, arriendos, sueldos, seguros y bonos con cupón fijo son anualidades vencidas. Esta clase deriva sus fórmulas, muestra sus cuatro despejes y las aplica a los cálculos que se usan a diario.

La Parte 1 usó la fórmula de la cuota sin derivarla. Esta la deriva y la generaliza, porque de esa generalización salen los casos que aparecen en la práctica: pagos diferidos, pagos que crecen y valoración de flujos regulares de cualquier tipo.

📚 Objetivos

Al finalizar podrás:

1. Derivar las fórmulas de valor presente y futuro de una anualidad vencida.
2. Despejar cualquiera de las cuatro variables.
3. Calcular anualidades con crecimiento constante.
4. Aplicar anualidades diferidas con periodo de gracia.
5. Resolver problemas con anualidades combinadas.

Agenda de 90 minutos

La clase dura noventa minutos y se recorre en cinco tramos. No es un horario rígido: es el orden en que los bloques de esta página se sostienen unos a otros, y por eso conviene respetarlo aunque cambien los tiempos.

Los diez primeros minutos se dedican a recuperar la clase anterior, porque casi todo lo que aquí se explica supone algo que ya se vio. Los veinticinco siguientes desarrollan los conceptos con la fuente oficial a la vista: las referencias del final de la página no son un adorno bibliográfico, se consultan mientras se estudia. Del minuto 35 al 55 se resuelve el ejemplo guiado paso a paso, sin saltarse ninguno, porque el error típico vive precisamente en el paso que parece obvio. Los veinticinco minutos siguientes son de práctica con datos propios o sintéticos —nunca reales de terceros—, que es cuando se comprueba si se entendió. Los diez últimos cierran con las preguntas de comprobación y el registro del entregable.

Si el tiempo aprieta, lo que se recorta es la práctica y se traslada al laboratorio de la parte; lo que no se recorta nunca es el ejemplo guiado.

🧩 Conceptos centrales

Los tres primeros términos son la anualidad y sus dos factores; los tres siguientes, sus variantes y la relación que las une. Los factores son lo operativo: una vez tabulados, resuelven cualquier problema de la clase sin volver a la fórmula.

🧠 Modelo mental

Una anualidad es una suma de valores presentes que tiene forma cerrada:

VP = A/(1+i) + A/(1+i)² + ... + A/(1+i)^n

Es una progresión geométrica, y su suma es:

VP = A × [1 − (1+i)^-n] / i

Entender que es una suma —no una fórmula mágica— permite adaptarla a cualquier variante: si un pago falta, se resta; si hay crecimiento, cambia la razón de la progresión.

📖 Desarrollo

1. Derivación

La fórmula de la anualidad no se memoriza: sale de sumar una progresión geométrica de valores presentes. La derivación siguiente lo muestra, y verla una vez evita confundir las variantes después.

VP = A Σ(t=1 a n) (1+i)^-t

Multiplicando por (1+i) y restando la original:

VP(1+i) = A Σ(t=0 a n-1) (1+i)^-t
VP(1+i) − VP = A [1 − (1+i)^-n]
VP × i = A [1 − (1+i)^-n]

VP = A × [1 − (1+i)^-n] / i

Análogamente:

VF = A × [(1+i)^n − 1] / i

Y la relación entre ambos:

VF = VP × (1+i)^n

2. Los cuatro despejes

Con cuatro variables y una ecuación hay cuatro despejes, y en la práctica se usan todos. El esquema los recoge juntos.

VP  = A × [1 − (1+i)^-n]/i
A   = VP × i / [1 − (1+i)^-n]
n   = −ln(1 − VP×i/A) / ln(1+i)
i   → sin solución cerrada: se resuelve por iteración (Parte 1, clase 14)

Ejemplos:

VP: A = 250 000 · i = 1,2 % · n = 48
    VP = 250 000 × [1 − (1,012)^-48]/0,012 = 250 000 × 36,1568 = 9 039 200

A:  VP = 9 039 200 · i = 1,2 % · n = 48  →  A = 250 000  ✔

n:  VP = 5 000 000 · A = 180 000 · i = 1,2 %
    n = −ln(1 − 5 000 000 × 0,012/180 000)/ln(1,012)
      = −ln(1 − 0,333333)/ln(1,012) = 0,405465/0,011928 = 34,0 periodos

i:  VP = 5 000 000 · A = 180 000 · n = 34  →  por iteración: i = 1,2000 %

3. Anualidad diferida

Cuando los pagos empiezan después de un periodo de espera, la fórmula sigue sirviendo con un ajuste. El esquema muestra cuál y por qué.

VP = A × a(n,i) × (1+i)^-k

k = periodos de diferimiento

crédito con 6 meses de gracia total y luego 36 cuotas de 420 000, i = 1,1 %

VP = 420 000 × [1 − (1,011)^-36]/0,011 × (1,011)^-6
   = 420 000 × 29,6432 × 0,936360
   = 420 000 × 27,7562 = 11 657 604

Verificación por otro camino:

valor de las cuotas en el mes 6 = 420 000 × 29,6432 = 12 450 144
traído a hoy: 12 450 144 / (1,011)^6 = 12 450 144 / 1,067950 = 11 657 604 ✔

4. Anualidad creciente

Cuando los pagos crecen a una tasa g constante:

si i ≠ g:   VP = A/(i − g) × [1 − ((1+g)/(1+i))^n]
si i = g:   VP = A × n / (1+i)

Con un flujo que crece a ritmo constante, la fórmula se aplica paso a paso hasta el valor presente.

A = 800 000 (primer pago) · g = 3 % anual · i = 9 % anual · n = 15

VP = 800 000/(0,09 − 0,03) × [1 − (1,03/1,09)^15]
   = 800 000/0,06 × [1 − (0,944954)^15]
   = 13 333 333 × [1 − 0,424553]
   = 13 333 333 × 0,575447 = 7 672 627

Comparación con una anualidad constante de 800 000:

constante: 800 000 × [1 − (1,09)^-15]/0,09 = 800 000 × 8,06069 = 6 448 552
creciente: 7 672 627
diferencia: 1 224 075 (19,0 % más)

Este cálculo es la base de la valoración de flujos de arriendo indexados y de la proyección de aportes de ahorro que crecen con el salario.

5. Anualidades combinadas

Cuando el flujo cambia de monto o de periodicidad, se descompone en tramos:

crédito: 12 cuotas de 300 000 seguidas de 24 cuotas de 450 000, i = 1,3 %

VP tramo 1 = 300 000 × [1 − (1,013)^-12]/0,013 = 300 000 × 11,0703 = 3 321 090
VP tramo 2 = 450 000 × [1 − (1,013)^-24]/0,013 × (1,013)^-12
           = 450 000 × 20,5164 × 0,856348 = 7 906 429
VP total   = 11 227 519

La regla general: cada tramo se valora como anualidad independiente y se descuenta al inicio del tramo, luego se trae a hoy.

🧮 Ejemplo guiado

El ejemplo resuelve los cuatro despejes sobre el mismo contrato. Conviene comprobar el último contra el primero: si el circuito cierra, la fórmula se está usando bien.

Situación. Un banco estructura un crédito de capital de trabajo para una empresa con estacionalidad marcada.

monto solicitado           60 000 000
tasa                       1,15 % mensual
estructura propuesta:
  meses 1–4    gracia total (temporada baja)
  meses 5–16   cuotas de X (temporada media)
  meses 17–28  cuotas de 1,5X (temporada alta)

Paso 1 — capitaliza durante la gracia.

saldo al mes 4 = 60 000 000 × (1,0115)^4 = 60 000 000 × 1,046790 = 62 807 400

Paso 2 — plantea la ecuación de valor en el mes 4.

62 807 400 = X × a(12; 1,15%) + 1,5X × a(12; 1,15%) × (1,0115)^-12

Paso 3 — calcula los factores.

(1,0115)^12 = 1,147211
a(12) = [1 − 1/1,147211]/0,0115 = [1 − 0,871680]/0,0115 = 11,15826
(1,0115)^-12 = 0,871680

Paso 4 — resuelve.

62 807 400 = X × 11,15826 + 1,5X × 11,15826 × 0,871680
           = X × 11,15826 + X × 14,59006
           = X × 25,74832

X = 62 807 400 / 25,74832 = 2 439 285
1,5X = 3 658 928

Paso 5 — construye la tabla de verificación (extracto).

Paso 6 — verifica y evalúa.

saldo final 73 ≈ 0  ✔ (ajuste en la última cuota)

pagos totales = 12 × 2 439 285 + 12 × 3 658 928 = 73 178 556
intereses totales = 73 178 556 − 60 000 000 = 13 178 556
costo sobre el monto = 21,96 %
TEA = (1,0115)^12 − 1 = 14,7211 %

Interpreta: la estructura estacional resolvió el problema de la empresa —no pagar en temporada baja— a un costo concreto: los cuatro meses de gracia total capitalizaron 2 807 400 de intereses que se pagan durante toda la vida del crédito. El cliente debe conocer ese número antes de firmar, y calcularlo es exactamente lo que esta clase permite.

🏦 Del cliente al banco

El cliente ve una cuota y el banco valora una serie de flujos. La tabla enfrenta las dos lecturas.

🧪 Práctica

El laboratorio pide resolver anualidades vencidas, diferidas y crecientes sobre el mismo capital. Comparar los tres resultados muestra cuánto vale cada estructura.

En labs/lab-02.md, sección de anualidades:

1. Deriva la fórmula de valor presente a partir de la suma de la progresión.
2. Resuelve los cuatro despejes en cuatro casos distintos.
3. Calcula una anualidad creciente y compárala con la constante equivalente.
4. Estructura un crédito con tramos de cuota distinta y verifica con la tabla completa.

⚠️ Errores frecuentes

Los síntomas de la tabla describen valoraciones que no cuadran con la intuición. Las causas están en el momento del primer pago y en el periodo de diferimiento.

❓ Preguntas de comprobación

1. Deriva la fórmula del valor presente de una anualidad vencida.
2. Calcula la cuota de 8 000 000 a 30 periodos con tasa de 1,4 % por periodo.
3. ¿Cuántos periodos toma amortizar 12 000 000 con cuotas de 400 000 al 1,1 %?
4. ¿Cómo se valora una anualidad que empieza después de 5 periodos de gracia?
5. Compara el valor presente de una anualidad constante y una creciente al 4 %.

📥 Entregable

Guarda en portfolio/parte-07/clase-04/:

• la derivación escrita de la fórmula de valor presente;
• los cuatro despejes resueltos con verificación;
• la comparación entre anualidad constante y creciente;
• la estructuración de un crédito con tramos y su tabla de verificación completa.

🔐 Seguridad, ética y límites

Trabaja siempre con datos sintéticos o propios: nunca uses datos reales de terceros, números de cuenta, documentos de identidad ni antecedentes crediticios ajenos. Este material es formativo y no constituye asesoría financiera, tributaria ni legal; las tasas, comisiones, límites y normas citados cambian y deben verificarse en la fuente oficial vigente del país donde se aplique. Cuando un cálculo alimente una decisión que afecte a otra persona, registra los supuestos y quién los aprobó.

📗 Fuentes y verificación

• Kellison, S. (2008). The Theory of Interest (3.ª ed.). McGraw-Hill/Irwin. Capítulos 3 y 4: anualidades vencidas, diferidas y variables.
• Broverman, S. (2017). Mathematics of Investment and Credit (7.ª ed.). ACTEX. Capítulo 2: anualidades y sus variantes.
• Ross, S., Westerfield, R. y Jordan, B. (2022). Fundamentos de finanzas corporativas (12.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 5: anualidades y perpetuidades.
• Brealey, R., Myers, S. y Allen, F. (2023). Principios de finanzas corporativas (14.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 2: fórmulas de valor presente de series.
• Luenberger, D. (2013). Investment Science (2.ª ed.). Oxford University Press. Capítulo 3: flujos determinísticos.
• Verificación local: contrasta con la estructura de cuotas que exige informar tu regulador en la tabla de desarrollo de un crédito.