Clase 03 · Conversión de periodicidades

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Parte 07 — Matemática financiera avanzada · Nivel: Avanzado — perfil analista · Duración: 90 minutos

🎯 Propósito

Resolver el problema práctico que aparece en toda operación real: los flujos no siempre ocurren con la misma frecuencia que la tasa cotizada. Un crédito con cuotas trimestrales y tasa mensual, un arrendamiento con pagos irregulares, un bono con cupones semestrales y tasa anual. Esta clase entrega el procedimiento sistemático para resolver cualquiera de esos casos.

Las dos clases anteriores convierten tasas. Esta trata el problema que aparece cuando la periodicidad de la tasa y la del flujo no coinciden, que es la situación normal en la práctica y la que produce errores silenciosos: el resultado sale, es plausible y está mal.

📚 Objetivos

Al finalizar podrás:

1. Aplicar el procedimiento de tres pasos para cualquier desalineación de periodicidades.
2. Resolver operaciones con flujos irregulares en el tiempo.
3. Manejar periodos fraccionarios sin aproximar.
4. Construir un eje de tiempo con la periodicidad correcta.
5. Verificar un resultado mediante recomposición del flujo.

Agenda de 90 minutos

La clase dura noventa minutos y se recorre en cinco tramos. No es un horario rígido: es el orden en que los bloques de esta página se sostienen unos a otros, y por eso conviene respetarlo aunque cambien los tiempos.

Los diez primeros minutos se dedican a recuperar la clase anterior, porque casi todo lo que aquí se explica supone algo que ya se vio. Los veinticinco siguientes desarrollan los conceptos con la fuente oficial a la vista: las referencias del final de la página no son un adorno bibliográfico, se consultan mientras se estudia. Del minuto 35 al 55 se resuelve el ejemplo guiado paso a paso, sin saltarse ninguno, porque el error típico vive precisamente en el paso que parece obvio. Los veinticinco minutos siguientes son de práctica con datos propios o sintéticos —nunca reales de terceros—, que es cuando se comprueba si se entendió. Los diez últimos cierran con las preguntas de comprobación y el registro del entregable.

Si el tiempo aprieta, lo que se recorta es la práctica y se traslada al laboratorio de la parte; lo que no se recorta nunca es el ejemplo guiado.

🧩 Conceptos centrales

Los tres primeros términos nombran el problema y los tres últimos, las herramientas para resolverlo. La desalineación es el diagnóstico que hay que saber hacer: antes de cualquier cálculo con flujos, se comprueba que tasa y flujo hablan de la misma unidad de tiempo.

🧠 Modelo mental

El procedimiento es siempre el mismo:

1. elige el PERIODO DE REFERENCIA = la periodicidad del FLUJO
2. convierte la TASA a ese periodo (clase 2)
3. opera normalmente

El error universal es el inverso: intentar convertir los flujos a la periodicidad de la tasa. Los flujos ocurren cuando ocurren; la tasa es la que se adapta.

📖 Desarrollo

1. El procedimiento, caso por caso

Caso A — tasa mensual, flujos trimestrales:

tasa: 1,4 % mensual
flujos: cada 3 meses

periodo de referencia = trimestre
i_trimestral = (1,014)^3 − 1 = 4,2588 %

Caso B — TEA, flujos mensuales:

tasa: 16 % efectivo anual
flujos: mensuales

i_mensual = (1,16)^(1/12) − 1 = 1,2445 %

Caso C — tasa nominal semestral, flujos trimestrales:

tasa: 14 % nominal capitalizable semestral → i_semestral = 7 %
flujos: trimestrales

i_trimestral = (1,07)^(1/2) − 1 = 3,4408 %

Caso D — tasa mensual, flujos cada 45 días:

tasa: 1,1 % mensual
periodo de referencia = 45 días = 1,5 meses

i_45 = (1,011)^1,5 − 1 = 1,6545 %

2. Flujos irregulares

Cuando los flujos no tienen periodicidad fija, se trabaja en días:

i_diaria = (1 + TEA)^(1/365) − 1
factor de descuento del flujo t = (1 + i_diaria)^(−días_t)

Ejemplo:

TEA 13 %  →  i_diaria = (1,13)^(1/365) − 1 = 0,0334855 %

Flujo      Fecha       Días desde hoy   Factor            Valor presente
2 000 000  15-mar               42      0,986017          1 972 034
3 500 000  08-jun              127      0,958290          3 354 015
1 800 000  22-sep              233      0,924554          1 664 197
5 200 000  30-dic              332      0,894244          4 650 069
                                        TOTAL VP         11 640 315

Este método —descontar por días exactos— es el que usan los sistemas de tesorería y el que evita los errores de aproximar meses de 30 días.

3. Periodos fraccionarios

Dos convenciones para un plazo que incluye una fracción de periodo:

convención EXPONENCIAL (compuesta):  M = C (1 + i)^n     con n fraccionario
convención LINEAL (mixta):           M = C (1 + i)^⌊n⌋ × (1 + i × fracción)

La diferencia entre ambas convenciones parece menor y conviene medirla con un caso, porque en contratos grandes deja de serlo.

C = 10 000 000 · i = 2 % mensual · n = 5,4 meses

exponencial: 10 000 000 × (1,02)^5,4 = 11 133 456
lineal:      10 000 000 × (1,02)^5 × (1 + 0,02 × 0,4) = 11 129 396

diferencia: 4 060

La convención debe declararse en el contrato. La exponencial es la matemáticamente consistente; la lineal se usa por tradición en algunos mercados y siempre produce un monto menor para fracciones positivas.

4. Construir el eje de tiempo

Reglas que evitan la mayoría de los errores:

1. el periodo 0 es la fecha de la operación, no el primer pago
2. si el primer flujo ocurre al final del primer periodo, va en t = 1
3. si el primer flujo ocurre al inicio, va en t = 0 (anualidad anticipada, clase 5)
4. si hay un periodo de gracia, los primeros periodos tienen flujo cero
5. todos los flujos deben estar en la misma periodicidad de referencia

Ejemplo con gracia:

crédito de 20 000 000, tasa 1,3 % mensual
3 meses de gracia total, luego 24 cuotas mensuales

  0    1    2    3    4    5   ...  27
  |----|----|----|----|----|--- ... --|
+20M   0    0    0    A    A         A

saldo al mes 3 = 20 000 000 × (1,013)^3 = 20 790 233
cuota = 20 790 233 × 0,013 × (1,013)^24 / ((1,013)^24 − 1) = 1 016 200

5. Verificación por recomposición

Todo resultado debe verificarse reconstruyendo el flujo:

capital 20 790 233 al mes 3
cuota 1 016 200 durante 24 meses

mes 4:  interés 270 273 · amortización 745 927 · saldo 20 044 306
mes 5:  interés 260 576 · amortización 755 624 · saldo 19 288 682
...
mes 27: interés  13 049 · amortización 1 003 151 · saldo 0  ✔

Si el saldo final no es cero (salvo el ajuste de centavos), la conversión de periodicidad fue incorrecta.

🧮 Ejemplo guiado

Situación. Estructura una operación de leasing con estas condiciones:

valor del equipo             48 000 000
tasa cotizada                14,5 % nominal capitalizable semestral
pagos                        trimestrales, vencidos
plazo                        4 años
pago inicial                 15 % del valor, al momento de la firma
valor residual (opción)      8 % del valor, pagadero al final

Paso 1 — periodo de referencia y tasa.

periodo de referencia = trimestre (periodicidad del flujo)
i_semestral = 14,5 %/2 = 7,25 %
i_trimestral = (1,0725)^(1/2) − 1 = 3,5617 %

Paso 2 — monto a financiar.

pago inicial = 48 000 000 × 0,15 = 7 200 000
monto financiado = 48 000 000 − 7 200 000 = 40 800 000

Paso 3 — descuenta el valor residual.

valor residual = 48 000 000 × 0,08 = 3 840 000, pagadero en el trimestre 16
VP del residual = 3 840 000 / (1,035617)^16 = 3 840 000 / 1,750434 = 2 193 748

monto a amortizar en cuotas = 40 800 000 − 2 193 748 = 38 606 252

Paso 4 — cuota trimestral.

n = 16 trimestres
(1,035617)^16 = 1,750434

cuota = 38 606 252 × 0,035617 × 1,750434 / (1,750434 − 1)
      = 38 606 252 × 0,062338 / 0,750434
      = 2 406 726 / 0,750434 = 3 207 132

Paso 5 — construye el eje de tiempo completo.

  t=0     t=1      t=2     ...    t=16
   |-------|--------|------ ... ----|
 −7 200 000  ...                    
 +48 000 000 equipo recibido
          −3 207 132 cada trimestre
                                −3 840 000 (residual)

Paso 6 — verifica con el valor presente completo.

VP de las cuotas = 3 207 132 × [1 − (1,035617)^-16] / 0,035617
                 = 3 207 132 × [1 − 0,571287] / 0,035617
                 = 3 207 132 × 12,03672 = 38 601 900

VP total = 7 200 000 (inicial) + 38 601 900 (cuotas) + 2 193 748 (residual)
         = 47 995 648 ≈ 48 000 000  ✔ (diferencia por redondeo)

Paso 7 — la TEA efectiva de la operación.

TEA = (1,035617)^4 − 1 = 15,0256 %

Nótese que la cotización decía 14,5 %: la TEA real es 15,03 %, medio punto más, por la capitalización semestral.

Interpreta: la operación involucró tres desalineaciones simultáneas —tasa semestral, flujos trimestrales, valor residual al vencimiento— y el procedimiento de tres pasos las resolvió sin ambigüedad. La verificación del paso 6 es obligatoria: si el valor presente total no reproduce el valor del equipo, hay un error en alguna conversión.

🏦 Del cliente al banco

El cliente recibe un calendario de pagos y el banco trabaja con su periodo de devengo. La tabla enfrenta las dos lecturas y explica de dónde vienen las diferencias de céntimos que a veces aparecen.

🧪 Práctica

El laboratorio pide resolver el mismo caso alineando por dos caminos distintos y comprobar que coinciden. Que coincidan es la verificación de que la conversión se hizo bien.

En labs/lab-02.md:

1. Resuelve seis casos de desalineación de periodicidades con el procedimiento de tres pasos.
2. Descuenta un flujo irregular por días exactos y verifica el resultado.
3. Compara la convención exponencial y la lineal en cuatro periodos fraccionarios.
4. Estructura una operación de leasing completa con verificación por valor presente.

⚠️ Errores frecuentes

Los síntomas de la tabla describen resultados plausibles y equivocados. La causa es siempre la misma: se operó sin alinear las periodicidades.

❓ Preguntas de comprobación

1. ¿Cuál es el procedimiento de tres pasos ante una desalineación?
2. Convierte 12 % nominal capitalizable trimestral a una tasa para flujos bimestrales.
3. ¿Cómo se descuentan flujos que no tienen periodicidad fija?
4. ¿Qué diferencia hay entre la convención exponencial y la lineal, y cuál da mayor monto?
5. ¿Cómo verificas que la conversión de periodicidad fue correcta?

📥 Entregable

Guarda en portfolio/parte-07/clase-03/:

• los seis casos de desalineación resueltos con el procedimiento;
• el flujo irregular descontado por días exactos con su verificación;
• la comparación de convenciones en cuatro periodos fraccionarios;
• la operación de leasing estructurada con la verificación por valor presente y su TEA.

🔐 Seguridad, ética y límites

Trabaja siempre con datos sintéticos o propios: nunca uses datos reales de terceros, números de cuenta, documentos de identidad ni antecedentes crediticios ajenos. Este material es formativo y no constituye asesoría financiera, tributaria ni legal; las tasas, comisiones, límites y normas citados cambian y deben verificarse en la fuente oficial vigente del país donde se aplique. Cuando un cálculo alimente una decisión que afecte a otra persona, registra los supuestos y quién los aprobó.

📗 Fuentes y verificación

• Broverman, S. (2017). Mathematics of Investment and Credit (7.ª ed.). ACTEX. Capítulos 1 y 2: conversión de periodicidades y periodos fraccionarios.
• Kellison, S. (2008). The Theory of Interest (3.ª ed.). McGraw-Hill/Irwin. Capítulo 2: ecuaciones de valor con flujos irregulares.
• Fabozzi, F. (2021). Bond Markets, Analysis, and Strategies (10.ª ed.). MIT Press. Capítulo 2: convenciones de conteo y descuento por días.
• IFRS Foundation. NIIF 16 Arrendamientos: medición del pasivo por arrendamiento y valor residual. https://www.ifrs.org/
• Benninga, S. (2014). Financial Modeling (4.ª ed.). MIT Press. Implementación de descuento por días exactos.
• Verificación local: revisa qué convención de periodo fraccionario y qué base de días exige la normativa de tu país en operaciones de crédito y de leasing.