Inicio · Parte 11 — Métodos numéricos y computación científica
y' = f(t, y), y(t₀) = y₀
ejemplo: y' = −2y + t, y(0) = 1
solución: y(t) = 0,25(2t − 1) + 1,25·e^(−2t)Una ecuación diferencial ordinaria relaciona una función desconocida con sus derivadas. El problema de valor inicial añade el valor en un punto, y bajo condiciones suaves de f eso determina una única trayectoria: el teorema de Picard-Lindelöf garantiza existencia y unicidad local.
Las EDO son el lenguaje de casi toda la modelización dinámica: mecánica, circuitos, cinética química, poblaciones, epidemias y control. Que la mayoría no tenga solución analítica es lo que motiva las clases siguientes, y es la norma más que la excepción.
Para desarrollar y validar métodos numéricos conviene partir de un problema con solución conocida. El ejemplo de esta parte, y' = −2y + t, es lineal de primer orden y se resuelve con factor integrante. Tener la solución exacta permite medir el error real de cada método y verificar empíricamente su orden.
La estructura de la ecuación anticipa un problema que aparecerá luego. El coeficiente −2 del término lineal determina la escala de tiempo del decaimiento, y con ella el paso máximo que un método explícito puede dar sin volverse inestable. Cuando en un sistema conviven coeficientes muy dispares —−2 y −2000— aparece la rigidez, y los métodos explícitos dejan de ser viables.
El problema de referencia de esta parte.
EDO: y' = −2y + t y(0) = 1
Solución analítica por factor integrante:
y(t) = 0,25·(2t − 1) + 1,25·e^(−2t)
Comprobación en t = 0:
0,25·(−1) + 1,25·1 = −0,25 + 1,25 = 1,0 ✓
Valores de referencia:
y(0) = 1,000000000000
y(0,5) = 0,459849979076
y(1) = 0,419169104046
Pendiente inicial: f(0, 1) = −2·1 + 0 = −2,0
Toda la parte mide los métodos contra y(1) = 0,419169104046.EDO con solución analítica para medir el error de cada método.
python classes/part-11-metodos-numericos-y-computacion-cientifica/235-ecuaciones-diferenciales-ordinarias/lab.py
compmath run 235edosolucion_analiticay(0)y(1)_exactacondicion_inicialf(0,1)es_lineal_de_primer_ordenestable{
"edo": "y' = -2y + t, y(0) = 1",
"solucion_analitica": "0.25(2t-1) + 1.25e^(-2t)",
"y(0)": 1.0,
"y(1)_exacta": 0.419169104046,
"condicion_inicial": 1.0,
"f(0,1)": -2.0
}Modelos dinámicos en física e ingeniería, farmacocinética, modelos epidemiológicos, sistemas de control y Neural ODE.
Los Neural ODE, los samplers de difusión y los optimizadores de segundo orden son métodos numéricos con parámetros aprendidos.
9781305253667 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).9783540788621 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).