🧮 Computational Mathematics

Inicio · Parte 11 — Métodos numéricos y computación científica

236 — Método de Euler

cientifico clase 16 de 20 4 horas demostración euler_method

Euler es el método más barato por paso y el más caro por dígito de precisión.

Fórmulas

yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
error global O(h): duplicar pasos divide el error por 2
estabilidad para y' = λy:  h < 2/|λ|

Desarrollo

El método de Euler avanza siguiendo la tangente: evalúa la pendiente en el punto actual y da un paso recto en esa dirección. Es la traducción directa de la definición de derivada, y su valor es pedagógico: todo método más sofisticado se entiende como una mejora sobre esta idea.

Su error local por paso es O(h²), pero al acumularse sobre 1/h pasos el error global resulta O(h). Eso significa que duplicar el trabajo solo divide el error por dos, una relación pésima. Para diez veces más precisión hacen falta diez veces más pasos, y para precisión de ingeniería el coste se vuelve prohibitivo.

La estabilidad es un problema distinto y suele confundirse con la precisión. Para y' = λy con λ negativo, la solución decae, pero Euler solo reproduce ese decaimiento si h < 2/|λ|. Con un paso mayor, la solución numérica oscila y crece sin límite aunque la real tienda a cero. No es imprecisión: es divergencia.

Existe la variante implícita, yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ₊₁, yₙ₊₁), que exige resolver una ecuación en cada paso pero es incondicionalmente estable. Ese intercambio —más trabajo por paso a cambio de pasos mucho mayores— es exactamente la razón de ser de los métodos implícitos en problemas rígidos.

Ejemplo trabajado

Euler sobre el problema de referencia, hacia y(1) = 0,419169.

pasos     h        y(1)         error      razón
   5    0,200    0,347200     7,197e-02      —
  10    0,100    0,384218     3,495e-02     2,06
  20    0,050    0,401953     1,722e-02     2,03
  40    0,025    0,410620     8,549e-03     2,01
  80    0,0125   0,414909     4,260e-03     2,01

La razón se estabiliza en 2 → orden 1 confirmado     ✓

Con 80 pasos el error sigue siendo 4,3e-03.
RK4 con 5 pasos alcanza 1,0e-04: 40 veces mejor
con 16 veces menos trabajo.

Estabilidad: para λ = −2 se exige h < 1,0.
Con h = 1,1 la solución numérica oscila y diverge.

Qué calcula el laboratorio

Euler explícito: orden 1 y coste mínimo.

python classes/part-11-metodos-numericos-y-computacion-cientifica/236-metodo-de-euler/lab.py
compmath run 236

Salidas del laboratorio (6)

Muestra de la ejecución real

{
  "metodo": "Euler explícito",
  "informe": [
    {
      "pasos": 5,
      "h": 0.2,
      "y(1)": 0.3472,
      "error": 0.0719691040457659,
      "razon": null
    },
    {
      "pasos": 10,
      "h": 0.1,
      "y(1)": 0.38421773,
      "error": 0.034951376045765925,
      "razon": 2.0591
    },
    {
      "pasos": 20,
      "h": 0.05,
      "y(1)": 0.40197082,
      "error": 0.01719828580755417,
      "razon": 2.0323
    },
    {
      "pasos": 40,
      "h": 0.025,
      "y(1)": 0.4106402,
      "error": 0.008528908339386576,
      "razon": 2.0165
    },
    {
      "pasos": 80,
      "h": 0.0125,
      "y(1)": 0.41492226,
      "error": 0.004246847312137592,
      "razon": 2.0083
    }
  ],
  "orden": 1,
  "duplicar_pasos_divide_el_error_por_2": true,
  "coste_por_paso": "1 evaluación de f",
  "limite_de_estabilidad": "h < 2/|λ| para y' = λy"
}

Errores comunes

Dónde se usa

Prototipado rápido de simulaciones, comprensión conceptual de integradores, esquemas de difusión discretizados y base del descenso por gradiente visto como flujo.

Idea rectora de la parte

Todo método iterativo necesita criterio de parada y tolerancia declarada.

Error a evitar

Usar tolerancia absoluta cuando la escala del problema es grande.

Conexión con IA

Los Neural ODE, los samplers de difusión y los optimizadores de segundo orden son métodos numéricos con parámetros aprendidos.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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