Inicio · Parte 11 — Métodos numéricos y computación científica
ecuaciones normales: AᵀAx = Aᵀb
cond(AᵀA) = cond(A)²
vía QR: A = QR ⟹ Rx = QᵀbEl problema de mínimos cuadrados busca el x que minimiza ‖Ax − b‖ cuando el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas. Geométricamente es la proyección de b sobre el espacio columna de A, y anular la derivada conduce a las ecuaciones normales AᵀAx = Aᵀb.
Esas ecuaciones son correctas en teoría y peligrosas en práctica. Formar AᵀA eleva al cuadrado el número de condición: una matriz con condición 10⁶, que en doble precisión es manejable, produce una AᵀA con condición 10¹², que se lleva por delante la mitad de los dígitos disponibles. El daño se hace al construir la matriz, antes de resolver nada.
La vía QR evita el problema. Descomponiendo A = QR con Q ortogonal, el sistema se reduce a Rx = Qᵀb, triangular y con la condición original de A sin elevar. Cuesta aproximadamente el doble de operaciones, y ese factor 2 es un precio muy pequeño por conservar la mitad de los dígitos.
Cuando A es además deficiente de rango o casi singular, ni siquiera QR basta y hay que recurrir a la SVD con truncamiento de valores singulares pequeños, que es la pseudoinversa de la parte 06. La regla práctica: ecuaciones normales solo para problemas pequeños y bien condicionados; QR por defecto; SVD cuando hay dudas sobre el rango.
Ajuste lineal por dos vías sobre los mismos seis puntos.
6 observaciones, modelo de 2 parámetros
ecuaciones normales: [1,03809524 ; 0,99142857]
vía QR: [1,03809524 ; 0,99142857]
coinciden a 8 dígitos ✓
cond(AᵀA) = 33,41 cond(A) = 5,78
relación: 5,78² = 33,41 ✓
Aquí el problema está bien condicionado y ambas sirven.
Si cond(A) fuera 1e6:
cond(AᵀA) = 1e12 → se pierden 12 de los 16 dígitos
QR mantendría la pérdida en 6.Mínimos cuadrados: ecuaciones normales frente a QR.
python classes/part-11-metodos-numericos-y-computacion-cientifica/234-minimos-cuadrados-numericos/lab.py
compmath run 234datoscoeficientes_ecuaciones_normalescoeficientes_QRcoincidencondicion_de_AᵀAlas_normales_elevan_al_cuadrado_la_condicionrecomendacionSSE{
"datos": 6,
"coeficientes_ecuaciones_normales": [
1.03809524,
0.99142857
],
"coeficientes_QR": [
1.03809524,
0.99142857
],
"coinciden": true,
"condicion_de_AᵀA": 33.4082,
"las_normales_elevan_al_cuadrado_la_condicion": true
}Regresión lineal, ajuste de curvas, calibración de sensores y capas lineales resueltas en forma cerrada.
Los Neural ODE, los samplers de difusión y los optimizadores de segundo orden son métodos numéricos con parámetros aprendidos.
9780898719574 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9781421407944 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).