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Inicio · Parte 11 — Métodos numéricos y computación científica

229 — Regla del trapecio

cientifico clase 9 de 20 4 horas demostración trapezoid_rule

El trapecio es de orden 2: duplicar los subintervalos divide el error por cuatro.

Fórmulas

∫ₐᵇ f ≈ (h/2)·[f(x₀) + 2f(x₁) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]
error total O(h²)
n × 2  ⟹  error / 4

Desarrollo

La regla del trapecio aproxima la función por segmentos rectos entre nodos consecutivos y suma las áreas de los trapecios resultantes. Es la regla más simple que va más allá de los rectángulos, y su fórmula compuesta tiene la estructura característica: los extremos pesan la mitad que los puntos interiores.

Su error es O(h²), lo que da la regla práctica más útil para verificar una implementación: duplicar el número de subintervalos divide el error por cuatro. Si al duplicar n el error solo se divide por dos, hay un error de programación o la función no es suficientemente suave.

El signo del error es predecible: el trapecio sobreestima para funciones convexas y subestima para cóncavas, porque la cuerda queda por encima o por debajo de la curva. Esa previsibilidad permite corregir, y de ahí sale la extrapolación de Richardson y el método de Romberg, que combinan estimaciones con distintos h para cancelar términos de error.

Tiene además una propiedad que lo hace insustituible en un caso concreto: para funciones periódicas integradas sobre un periodo completo, el trapecio converge exponencialmente, mucho más rápido que Simpson. Es el fundamento de los métodos espectrales y de la precisión de la transformada discreta de Fourier.

Ejemplo trabajado

Integral de 1/(1+x²) entre 0 y 1, que vale exactamente π/4.

valor exacto: 0,785398163397

   n      valor            error       razón
   2   0,775000000    1,0398e-02        —
   4   0,782794010    2,6042e-03      3,993
   8   0,784747124    6,5104e-04      4,000
  16   0,785235400    1,6276e-04      4,000
  32   0,785357472    4,0690e-05      4,000

La razón se estabiliza en 4 → orden 2 confirmado    ✓

El trapecio subestima aquí porque el integrando es cóncavo
en la mayor parte del intervalo.

Qué calcula el laboratorio

Regla del trapecio y su convergencia O(h²).

python classes/part-11-metodos-numericos-y-computacion-cientifica/229-regla-del-trapecio/lab.py
compmath run 229

Salidas del laboratorio (5)

Muestra de la ejecución real

{
  "integrando": "1/(1+x²) en [0,1]",
  "valor_exacto_pi/4": 0.7853981633974483,
  "informe": [
    {
      "n": 2,
      "valor": 0.775,
      "error": 0.010398163397448257,
      "razon_de_error": null
    },
    {
      "n": 4,
      "valor": 0.782794117647,
      "error": 0.0026040457503894165,
      "razon_de_error": 3.9931
    },
    {
      "n": 8,
      "valor": 0.784747123623,
      "error": 0.0006510397746760654,
      "razon_de_error": 3.9998
    },
    {
      "n": 16,
      "valor": 0.78523540301,
      "error": 0.00016276038710105745,
      "razon_de_error": 4.0
    },
    {
      "n": 32,
      "valor": 0.785357473294,
      "error": 4.069010370466586e-05,
      "razon_de_error": 4.0
    }
  ],
  "duplicar_n_divide_el_error_por_4": true,
  "orden": "O(h²)"
}

Errores comunes

Dónde se usa

Integración de datos experimentales muestreados, cálculo de áreas bajo curvas ROC, métodos espectrales con funciones periódicas y base del método de Romberg.

Idea rectora de la parte

El orden de un método de integración predice cómo cae el error con el paso.

Error a evitar

Aplicar Runge-Kutta con paso fijo a un sistema rígido.

Conexión con IA

Los Neural ODE, los samplers de difusión y los optimizadores de segundo orden son métodos numéricos con parámetros aprendidos.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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