Inicio · Parte 11 — Métodos numéricos y computación científica
∫f ≈ Σ wᵢ·f(xᵢ)
Gauss con n nodos: exacta para polinomios de grado 2n−1
cambio de variable de [a,b] a [−1,1]Toda regla de cuadratura tiene la misma forma: una suma ponderada de valores de la función. Lo que distingue a unas de otras es dónde se colocan los nodos y qué pesos se les asigna. Las reglas de Newton-Cotes —trapecio, Simpson— fijan nodos equiespaciados y calculan los pesos.
La cuadratura gaussiana hace algo más ambicioso: trata también las posiciones de los nodos como incógnitas. Con n nodos hay 2n grados de libertad, y se eligen para que la regla sea exacta con polinomios de grado hasta 2n−1. Con tres nodos se integra exactamente cualquier polinomio de grado 5, lo cual es notable.
Los nodos resultantes son las raíces de los polinomios de Legendre y no son equiespaciados: se concentran hacia el centro y evitan los extremos. Los pesos se calculan una vez y se tabulan. El cambio de variable lleva cualquier intervalo [a,b] al [−1,1] donde están tabulados.
La comparación con el trapecio es demoledora y explica por qué las bibliotecas serias usan variantes de Gauss: con el mismo número de evaluaciones, el error es varios órdenes de magnitud menor. Su límite es que necesita evaluar en puntos concretos, así que no sirve cuando solo se dispone de datos tabulados en una malla fija.
Integral de e^(−x²) entre 0 y 1, sin primitiva elemental.
valor de referencia: 0,746824132812
Gauss con 3 nodos:
estimación = 0,746814584191
error = 9,55e-06
Trapecio con 3 subintervalos (4 evaluaciones):
estimación = 0,739986475277
error = 6,84e-03
Gauss es 716 veces más preciso con menos evaluaciones.
Para igualar a Gauss-3, el trapecio necesitaría
unos 27 subintervalos.Cuadratura gaussiana: máxima exactitud con mínimos nodos.
python classes/part-11-metodos-numericos-y-computacion-cientifica/228-cuadratura-numerica/lab.py
compmath run 228integrandoreferenciagauss_3_nodoserror_gausstrapecio_3_subintervaloserror_trapeciogauss_n_puntos_es_exacta_hasta_gradoevaluaciones_usadas{
"integrando": "e^(-x²) en [0,1]",
"referencia": 0.746824132812,
"gauss_3_nodos": 0.746814584191,
"error_gauss": 9.548621e-06,
"trapecio_3_subintervalos": 0.739986475277,
"error_trapecio": 0.0068376575
}Integración en métodos de elementos finitos, cálculo de esperanzas en modelos probabilísticos, evaluación de funciones especiales y física computacional.
Los Neural ODE, los samplers de difusión y los optimizadores de segundo orden son métodos numéricos con parámetros aprendidos.
9781305253667 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).