Inicio · Parte 11 — Métodos numéricos y computación científica
∫ ≈ (h/3)·[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + fₙ]
error O(h⁴): n × 2 ⟹ error / 16
requiere n par; exacta hasta grado 3Simpson ajusta una parábola por cada par de subintervalos en vez de una recta por cada uno. El patrón de pesos 1, 4, 2, 4, …, 4, 1 sale de integrar exactamente esas parábolas, y exige que el número de subintervalos sea par.
Su error es O(h⁴), dos órdenes por encima del trapecio con esencialmente el mismo coste de evaluaciones. La regla de verificación correspondiente es que duplicar n divide el error por 16, y comprobarla es la forma estándar de validar la implementación.
Hay una sorpresa agradable: aunque se construye con parábolas, Simpson es exacto para polinomios de grado 3. El término cúbico se cancela por simetría, y ese grado extra gratuito es la razón de su excelente relación precisión-coste. Es el método por defecto cuando hay que integrar a mano y con pocos recursos.
El orden alto tiene una condición que se olvida: exige que la función tenga cuarta derivada acotada. Con integrandos poco suaves, con esquinas o con oscilaciones rápidas, Simpson pierde su ventaja y puede comportarse peor que el trapecio. Con funciones de suavidad dudosa conviene un método adaptativo que subdivida donde haga falta.
Misma integral que el trapecio, para comparar órdenes.
valor exacto: 0,785398163397
n valor error razón
2 0,783333333 2,0648e-03 —
4 0,785259259 1,3890e-04 14,87
8 0,785388765 9,3984e-06 14,78
16 0,785397555 6,0812e-07 15,46
La razón tiende a 16 → orden 4 confirmado ✓
Comparación con n = 16:
trapecio: error 1,63e-04
Simpson: error 6,08e-07 268 veces mejor
Verificación del grado 3: sobre x³ en [0,1]
Simpson con n = 2 da exactamente 0,25 ✓Simpson y su convergencia O(h⁴).
python classes/part-11-metodos-numericos-y-computacion-cientifica/230-simpson/lab.py
compmath run 230integrandovalor_exactoinformerequiere_n_parduplicar_n_divide_el_error_por_16exacta_para_polinomios_de_grado_3{
"integrando": "1/(1+x²) en [0,1]",
"valor_exacto": 0.7853981633974483,
"informe": [
{
"n": 2,
"valor": 0.78333333333333,
"error": 0.002064830064114953,
"razon_de_error": null
},
{
"n": 4,
"valor": 0.78539215686274,
"error": 6.006534703284494e-06,
"razon_de_error": 343.764
},
{
"n": 8,
"valor": 0.78539812561468,
"error": 3.778277157806542e-08,
"razon_de_error": 158.975
},
{
"n": 16,
"valor": 0.78539816280621,
"error": 5.912428324705843e-10,
"razon_de_error": 63.904
}
],
"requiere_n_par": true,
"duplicar_n_divide_el_error_por_16": true,
"exacta_para_polinomios_de_grado_3": true
}Integración numérica de propósito general, cálculo de momentos de distribuciones, procesamiento de señales muestreadas y base de los métodos adaptativos.
Los Neural ODE, los samplers de difusión y los optimizadores de segundo orden son métodos numéricos con parámetros aprendidos.
9781305253667 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).