Inicio · Parte 11 — Métodos numéricos y computación científica
adelantada: (f(x+h) − f(x)) / h, error O(h)
central: (f(x+h) − f(x−h)) / 2h, error O(h²)
segunda derivada: (f(x+h) − 2f(x) + f(x−h)) / h²Aproximar derivadas por cocientes de diferencias es la traducción literal de la definición de derivada a aritmética finita. Las tres fórmulas básicas se obtienen combinando desarrollos de Taylor y eligiendo los coeficientes que cancelan los términos de orden bajo.
La diferencia central es estrictamente mejor que la adelantada: mismo número de evaluaciones, un orden más de precisión. La razón es la simetría, que hace que el término de orden h se cancele entre los desarrollos de f(x+h) y f(x−h). Cuando se puede evaluar a ambos lados, no hay motivo para usar la adelantada.
La segunda derivada por diferencias es la fórmula que discretiza el laplaciano y está en el corazón de casi todo esquema para ecuaciones en derivadas parciales. Su error también es O(h²), pero su sensibilidad al redondeo es peor porque divide entre h²: el paso óptimo es mayor que para la primera derivada.
La aplicación más útil en aprendizaje automático es la verificación de gradientes: comparar el gradiente calculado por autodiferenciación con el obtenido por diferencia central detecta errores de implementación en las derivadas manuales. Es lento y no sirve para entrenar, pero como prueba unitaria es insustituible.
Derivada de e^x en x = 0,5 con h = 1e-4.
valor exacto: e^0,5 = 1,6487212707001282
adelantada: (f(x+h) − f(x))/h = 1,6488037095
error = 8,24e-05
atrás: (f(x) − f(x−h))/h = 1,6486388374
error = 8,24e-05
central: (f(x+h) − f(x−h))/2h = 1,6487212735
error = 2,75e-09 30 000 veces menor
Mismo coste en evaluaciones, tres órdenes de magnitud de ganancia.
Segunda derivada: (f(x+h) − 2f(x) + f(x−h))/h² = 1,64872132
error = 5,4e-08, mayor por dividir entre h².Fórmulas de diferencias y su orden de error.
python classes/part-11-metodos-numericos-y-computacion-cientifica/227-diferenciacion-numerica/lab.py
compmath run 227funcionxhexactaadelanteatrascentralerror_adelanteerror_centralsegunda_derivadacentral_es_2_ordenes_mejor{
"funcion": "e^x",
"x": 0.5,
"h": 0.0001,
"exacta": 1.6487212707001282,
"adelante": 1.6488037095,
"atras": 1.6486388374
}Verificación de gradientes, discretización de PDE, sensibilidad de modelos y optimización sin derivadas analíticas.
Los Neural ODE, los samplers de difusión y los optimizadores de segundo orden son métodos numéricos con parámetros aprendidos.
9781611975581, pendiente de resolver.9780387400655 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).