🧮 Computational Mathematics

Inicio · Parte 11 — Métodos numéricos y computación científica

223 — Newton-Raphson

cientifico clase 3 de 20 4 horas demostración newton_raphson

Newton duplica los dígitos correctos en cada paso, pero solo si empieza cerca.

Fórmulas

xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ)
error: eₙ₊₁ ≈ C·eₙ²  (convergencia cuadrática)
falla si f'(xₙ) ≈ 0

Desarrollo

Newton-Raphson aproxima la función por su recta tangente en el punto actual y toma como siguiente candidato el corte de esa recta con el eje. Es el método de la derivada aplicado a la búsqueda de raíces, y su deducción cabe en dos líneas a partir del desarrollo de Taylor de primer orden.

Su convergencia cuadrática es espectacular cuando funciona: si en un paso hay 3 dígitos correctos, en el siguiente hay 6, y en el siguiente 12. Por eso 6 iteraciones bastan donde bisección necesita 41. La cuadraticidad se pierde en raíces múltiples, donde degenera a convergencia lineal.

Los modos de fallo son reales y variados. Si la derivada se anula cerca del iterado, el paso se dispara a infinito. Si el punto inicial está lejos, la iteración puede alejarse, oscilar en un ciclo o converger a una raíz distinta de la buscada. Los fractales de Newton son la representación gráfica de esa sensibilidad extrema al punto de partida.

Su generalización a varias dimensiones sustituye la derivada por el Jacobiano y la división por la resolución de un sistema lineal. Esa versión es la que subyace a los métodos de segundo orden en optimización: minimizar es buscar la raíz del gradiente, y Newton aplicado al gradiente usa el Hessiano. La parte 12 desarrolla esa línea.

Ejemplo trabajado

Raíz de x³ − 2x − 4 desde x₀ = 3.

f(x) = x³ − 2x − 4        f'(x) = 3x² − 2

iter      x           error
  1    2,320000     3,20e-01
  2    2,059716     5,97e-02
  3    2,003100     3,10e-03
  4    2,000009     9,58e-06
  5    2,000000     9,17e-11
  6    2,000000     0,00e+00

Los dígitos correctos se duplican: 1 → 2 → 3 → 5 → 10 → 16

6 iteraciones frente a las 41 de bisección.

Modo de fallo: desde x₀ = 0,8 se tiene f'(0,8) = −0,08,
el paso salta a x ≈ −65 y la iteración se descontrola.

Qué calcula el laboratorio

Newton: convergencia cuadrática cerca de la raíz.

python classes/part-11-metodos-numericos-y-computacion-cientifica/223-newton-raphson/lab.py
compmath run 223

Salidas del laboratorio (8)

Muestra de la ejecución real

{
  "funcion": "x³ - 2x - 4",
  "punto_inicial": 3.0,
  "historial": [
    {
      "iter": 1,
      "x": 2.32,
      "error": 0.31999999999999984
    },
    {
      "iter": 2,
      "x": 2.04806152454196,
      "error": 0.04806152454195889
    },
    {
      "iter": 3,
      "x": 2.00133049302194,
      "error": 0.0013304930219382172
    },
    {
      "iter": 4,
      "x": 2.00000106090367,
      "error": 1.0609036662501126e-06
    },
    {
      "iter": 5,
      "x": 2.00000000000068,
      "error": 6.754596881819452e-13
    },
    {
      "iter": 6,
      "x": 2.0,
      "error": 0.0
    }
  ],
  "raiz": 2.0,
  "iteraciones": 6,
  "residuo": 0.0
}

Errores comunes

Dónde se usa

Optimización de segundo orden, resolución de sistemas no lineales, cálculo de funciones inversas y calibración de modelos.

Idea rectora de la parte

Interpolar de grado alto oscila (fenómeno de Runge): por eso existen los splines.

Error a evitar

Aplicar Runge-Kutta con paso fijo a un sistema rígido.

Conexión con IA

Los Neural ODE, los samplers de difusión y los optimizadores de segundo orden son métodos numéricos con parámetros aprendidos.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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