Inicio · Parte 11 — Métodos numéricos y computación científica
si f(a)·f(b) < 0, hay raíz en (a,b)
amplitud tras n pasos: (b−a)/2ⁿ
n ≈ log₂((b−a)/tol) iteracionesLa bisección se apoya en el teorema de Bolzano: si una función continua cambia de signo entre dos puntos, hay al menos una raíz entre ellos. El método evalúa el punto medio, mira el signo, y se queda con la mitad que sigue conteniendo el cambio. Cada paso reduce exactamente a la mitad la incertidumbre.
Su virtud es la garantía. No hay condiciones adicionales, no hay puntos iniciales malos, no diverge nunca. El número de iteraciones se conoce de antemano: log₂((b−a)/tol), unas 41 para pasar de un intervalo de amplitud 2 a la precisión de la máquina. Esa previsibilidad es lo que la hace insustituible como respaldo.
Su defecto es la lentitud. Cada iteración gana un solo bit de precisión, mientras que Newton duplica los dígitos correctos. Para el mismo problema, bisección necesita 41 evaluaciones donde Newton necesita 6. Cuando la evaluación de la función es cara, la diferencia es determinante.
La limitación menos obvia es que necesita un cambio de signo, y por tanto no encuentra raíces dobles como la de x², donde la función toca el eje sin cruzarlo. Los métodos robustos de producción, como Brent, combinan bisección con interpolación: usan la rápida cuando funciona y caen a la garantizada cuando no.
Raíz de x³ − 2x − 4 en el intervalo de 1 a 3.
f(1) = −5 < 0 f(3) = 17 > 0 hay cambio de signo
iter x f(x) amplitud
1 2,0000 0,000000 1,000
5 1,9375 −0,603760 0,0625
10 2,0020 0,020000 0,00195
20 2,0000 1,9e-05 1,9e-06
41 2,0000 −4,55e-12 9,1e-13
raíz = 2,0 41 iteraciones para 12 dígitos
Predicción teórica: log₂(2 / 1e-12) ≈ 41 ✓
Newton alcanza la misma precisión en 6 iteraciones,
pero necesita la derivada y un buen punto inicial.Bisección: lenta pero garantizada si hay cambio de signo.
python classes/part-11-metodos-numericos-y-computacion-cientifica/222-biseccion/lab.py
compmath run 222funcionintervalo_inicialcambio_de_signoiteraciones_registradasraizresiduoiteraciones_totalesconvergencia{
"funcion": "x³ - 2x - 4",
"intervalo_inicial": [
1.0,
3.0
],
"cambio_de_signo": true,
"iteraciones_registradas": [
{
"iter": 1,
"x": 2.0,
"f(x)": 0.0,
"amplitud": 1.0
},
{
"iter": 5,
"x": 1.9375,
"f(x)": -0.601806640625,
"amplitud": 0.0625
},
{
"iter": 20,
"x": 1.999998092651,
"f(x)": -1.9073465e-05,
"amplitud": 1.907348633e-06
}
],
"raiz": 2.0,
"residuo": -4.55e-12
}Búsqueda robusta de raíces, calibración de umbrales, respaldo dentro de métodos híbridos y búsqueda de puntos de cruce en curvas monótonas.
Los Neural ODE, los samplers de difusión y los optimizadores de segundo orden son métodos numéricos con parámetros aprendidos.
9781305253667 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).