Inicio · Parte 11 — Métodos numéricos y computación científica
xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)·(xₙ − xₙ₋₁) / (f(xₙ) − f(xₙ₋₁))
orden de convergencia φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618
una sola evaluación de f por iteraciónLa secante sustituye la derivada de Newton por su aproximación mediante los dos últimos iterados. Geométricamente, en vez de la tangente usa la recta que pasa por los dos últimos puntos, y toma su corte con el eje. La fórmula es la de Newton con f' reemplazado por un cociente de diferencias.
El precio es un orden de convergencia menor, exactamente el número áureo φ ≈ 1,618. Que aparezca φ no es casualidad decorativa: la recurrencia que gobierna los exponentes del error es la de Fibonacci, y su razón límite es φ. Es uno de los sitios donde ese número surge por necesidad matemática y no por misticismo.
A cambio, cada iteración cuesta una sola evaluación de f, frente a las dos de Newton —función y derivada—. Cuando evaluar la derivada cuesta lo mismo que evaluar la función, la secante es más eficiente por unidad de trabajo: φ² ≈ 2,6 > 2. Y cuando la derivada no existe en forma cerrada, es directamente la única opción de las dos.
Sus debilidades son parientes de las de Newton: puede diverger desde puntos malos, y falla si los dos últimos valores de la función son casi iguales, porque el denominador se anula. La familia de los métodos cuasi-Newton —BFGS y L-BFGS en optimización— es esta misma idea llevada a varias dimensiones: aproximar la información de segundo orden a partir de la historia de evaluaciones.
Misma raíz que Newton, ahora sin derivada.
f(x) = x³ − 2x − 4 puntos iniciales: 1,0 y 3,0
iter x error
1 1,454545 5,45e-01
3 1,876254 1,24e-01
5 1,996327 3,67e-03
7 1,999999 6,32e-07
9 2,000000 0,00e+00
9 iteraciones frente a las 6 de Newton
pero sin necesitar f' y con una evaluación por paso.
Eficiencia por evaluación:
Newton: orden 2 con 2 evaluaciones → √2 ≈ 1,414
Secante: orden 1,618 con 1 evaluación → 1,618 mejorSecante: casi tan rápida como Newton sin necesitar la derivada.
python classes/part-11-metodos-numericos-y-computacion-cientifica/224-metodo-de-la-secante/lab.py
compmath run 224puntos_inicialeshistorialraiziteracionesorden_de_convergenciano_requiere_derivadacoste_por_iteracion{
"puntos_iniciales": [
1.0,
3.0
],
"historial": [
{
"iter": 1,
"x": 1.45454545454545,
"error": 0.5454545454545454
},
{
"iter": 2,
"x": 1.7388105456775,
"error": 0.2611894543225015
},
{
"iter": 3,
"x": 2.13052873576438,
"error": 0.13052873576438007
},
{
"iter": 4,
"x": 1.97840752533069,
"error": 0.02159247466930636
},
{
"iter": 5,
"x": 1.99838609191327,
"error": 0.0016139080867294542
},
{
"iter": 6,
"x": 2.00002112111441,
"error": 2.112111441476827e-05
},
{
"iter": 7,
"x": 1.99999997953335,
"error": 2.0466647043804187e-08
},
{
"iter": 8,
"x": 1.99999999999974,
"error": 2.5934809855243657e-13
},
{
"iter": 9,
"x": 2.0,
"error": 0.0
}
],
"raiz": 2.0,
"iteraciones": 9,
"orden_de_convergencia": 1.618034,
"no_requiere_derivada": true
}Búsqueda de raíces sin derivada analítica, métodos cuasi-Newton, calibración de parámetros y ajuste de umbrales en funciones costosas de evaluar.
Los Neural ODE, los samplers de difusión y los optimizadores de segundo orden son métodos numéricos con parámetros aprendidos.
9781305253667 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).