Inicio · Parte 09 — Probabilidad y procesos aleatorios
Poisson: P(N=k) = e^(−λ)·λᵏ / k!, E[N] = Var(N) = λ
Exponencial: f(t) = λ·e^(−λt), E[T] = 1/λ
falta de memoria: P(T > s+t | T > s) = P(T > t)La distribución de Poisson describe el número de eventos que ocurren en un intervalo cuando esos eventos son independientes y suceden a una tasa media constante λ. Surge como límite de una binomial con n grande y p pequeño manteniendo np = λ: muchísimas oportunidades, cada una muy improbable.
Su firma es que media y varianza coinciden, ambas iguales a λ. Ese hecho sirve de diagnóstico: si en unos datos de conteo la varianza supera claramente a la media, hay sobredispersión y el modelo de Poisson es inadecuado, normalmente porque la tasa no es constante o los eventos se agrupan.
La exponencial es la otra cara del mismo proceso: si los conteos son Poisson con tasa λ, los tiempos entre eventos son exponenciales con media 1/λ. Tres eventos por hora implican una espera media de veinte minutos. Es la misma información contada desde el tiempo en vez de desde la cuenta.
La propiedad de falta de memoria es lo que hace la exponencial única entre las distribuciones continuas: haber esperado ya media hora no acorta la espera restante. Es realista para procesos sin desgaste —desintegración radiactiva, llegadas a un servidor— y claramente falso para procesos con envejecimiento, donde se usan Weibull o gamma.
Tres eventos por hora: conteos y esperas.
λ = 3 eventos/hora
Poisson:
P(N = 0) = e^(−3) = 0,049787
P(N = 3) = e^(−3)·3³ / 3! = 0,224042
E[N] = 3,0 Var(N) = 3,0 iguales ✓
Exponencial:
E[T] = 1/3 hora = 20 minutos
P(T > 1 h) = e^(−3) = 0,049787
Coherencia: "ningún evento en 1 hora" es lo mismo que
"la primera espera supera 1 hora" → mismo 0,049787 ✓
Falta de memoria:
P(T > 1,5 | T > 0,5) = e^(−3) = P(T > 1) ✓Poisson cuenta eventos; la exponencial mide el tiempo entre ellos.
python classes/part-09-probabilidad-y-procesos-aleatorios/193-poisson-y-exponencial/lab.py
compmath run 193λ_eventos_por_horaP(N=0)P(N=3)media_poissonvarianza_poissonmedia_de_la_espera_1/λmedia_de_espera_simuladasin_memoria{
"λ_eventos_por_hora": 3.0,
"P(N=0)": 0.04978707,
"P(N=3)": 0.22404181,
"media_poisson": 3.0,
"varianza_poisson": 3.0,
"media_de_la_espera_1/λ": 0.33333333
}Colas y capacidad de servidores, llegadas de peticiones, fiabilidad de componentes, conteos de defectos y modelos de supervivencia.
Un modelo de lenguaje es una distribución condicional sobre el siguiente token; la difusión es un proceso estocástico con reverso aprendido.