Inicio · Parte 09 — Probabilidad y procesos aleatorios
Bernoulli: P(X=1) = p, E[X] = p, Var(X) = p(1−p)
Binomial: P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ
E[X] = np, Var(X) = np(1−p)Un ensayo de Bernoulli es el experimento más simple posible: éxito con probabilidad p, fracaso con 1−p. Su esperanza es p y su varianza p(1−p), que alcanza su máximo en p = 0,5: la máxima incertidumbre está en la moneda justa, y decae hacia cero cuando el resultado es casi seguro en cualquiera de los dos sentidos.
Repetir n ensayos independientes con la misma p y contar los éxitos da la binomial. Su fórmula tiene tres piezas que conviene leer por separado: pᵏ es la probabilidad de los k éxitos, (1−p)ⁿ⁻ᵏ la de los fracasos restantes, y C(n,k) cuenta de cuántas maneras distintas pueden ordenarse. Esa combinatoria es la de la parte 04.
La media np y la varianza np(1−p) salen sin esfuerzo de la linealidad de la esperanza y de la aditividad de la varianza bajo independencia: la binomial es una suma de n Bernoullis. Este es el ejemplo más limpio de por qué esas dos propiedades merecían clases propias.
Las condiciones importan. Si los ensayos no son independientes, o si p cambia entre ellos, la binomial no aplica: extraer cartas sin reposición da una hipergeométrica, no una binomial. En aprendizaje automático la Bernoulli aparece como salida de toda regresión logística, y su log-verosimilitud negativa es la entropía cruzada binaria.
Diez ensayos con probabilidad de éxito 0,3.
n = 10, p = 0,3
media teórica = np = 3,0
varianza teórica = np(1−p) = 2,1
P(X = 3) = C(10,3) · 0,3³ · 0,7⁷
= 120 · 0,027 · 0,0823543
= 0,266828
simulación con 10⁵ réplicas: media 2,99145 ✓
Var máxima de un Bernoulli: p = 0,5 → 0,25
Var con p = 0,3 → 0,21
Var con p = 0,01 → 0,0099De un ensayo a n ensayos: Bernoulli y binomial.
python classes/part-09-probabilidad-y-procesos-aleatorios/192-bernoulli-y-binomial/lab.py
compmath run 192pnmedia_teorica_npvarianza_teorica_np(1-p)media_simuladapmf_k=3frecuencia_simulada_k=3suma_pmfP(X<=3){
"p": 0.3,
"n": 10,
"media_teorica_np": 3.0,
"varianza_teorica_np(1-p)": 2.0999999999999996,
"media_simulada": 2.99145,
"pmf_k=3": 0.26682793
}Tests A/B, tasas de conversión, control de calidad por muestreo, salida de regresión logística y entropía cruzada binaria.
Un modelo de lenguaje es una distribución condicional sobre el siguiente token; la difusión es un proceso estocástico con reverso aprendido.
9780134753119 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).