Inicio · Parte 09 — Probabilidad y procesos aleatorios
Cov(X,Y) = E[(X − μₓ)(Y − μᵧ)]
ρ = Cov(X,Y) / (σₓ·σᵧ), −1 ≤ ρ ≤ 1
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2·Cov(X,Y)La covarianza mide si dos variables se desvían de su media en el mismo sentido. Positiva significa que suelen subir juntas; negativa, que una sube cuando la otra baja; cero, que no hay tendencia lineal conjunta. Su defecto es que su magnitud depende de las escalas: medir en milímetros en vez de metros multiplica la covarianza por mil sin que la relación haya cambiado.
La correlación de Pearson arregla eso dividiendo por las desviaciones estándar. El resultado es adimensional y está acotado en [−1, 1], con los extremos alcanzados solo si la relación es exactamente lineal. Esa acotación es la desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada a variables centradas, y conecta con el ángulo entre vectores de la parte 05: la correlación es el coseno del ángulo entre los datos centrados.
La limitación crítica es que la correlación solo detecta relaciones lineales. Si Y = X² con X simétrica alrededor de cero, la correlación es exactamente 0 y la dependencia es total. Correlación cero no implica independencia; la implicación solo va en un sentido, y solo bajo normalidad conjunta se convierte en equivalencia.
La fórmula de la varianza de una suma muestra por qué la covarianza importa en la práctica: diversificar una cartera, promediar predictores en un ensemble o combinar estimadores reduce la varianza solo en la medida en que las covarianzas sean bajas. Modelos muy correlacionados no se ayudan al promediarse.
Invariancia de escala: multiplicar una variable por mil.
x = 1, 2, 3, 4, 5 ... y correlacionada con x
z = 1000·y misma relación, otras unidades
Cov(x, y) = 4,925
Cov(x, z) = 4 925,0 × 1000, como la escala
corr(x, y) = 0,998830
corr(x, z) = 0,998830 idéntica ✓
Dependencia no lineal invisible:
x = −2, −1, 0, 1, 2 y = x² = 4, 1, 0, 1, 4
corr(x, y) = 0 y sin embargo y está determinada por xCovarianza depende de la escala; la correlación no.
python classes/part-09-probabilidad-y-procesos-aleatorios/191-covarianza-y-correlacion/lab.py
compmath run 191cov(x,y)cov(x,z)_escala_x1000corr(x,y)corr(x,z)la_correlacion_es_invariante_a_escalarango_de_la_correlacioncorrelacion_0_no_implica_independencia{
"cov(x,y)": 4.925,
"cov(x,z)_escala_x1000": 4925.0,
"corr(x,y)": 0.99882965,
"corr(x,z)": 0.99882965,
"la_correlacion_es_invariante_a_escala": true,
"rango_de_la_correlacion": "[-1, 1]"
}Matrices de covarianza en PCA, selección de características, diversificación de carteras y diseño de ensembles con predictores poco correlacionados.
Un modelo de lenguaje es una distribución condicional sobre el siguiente token; la difusión es un proceso estocástico con reverso aprendido.
9780387217369 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).