Inicio · Parte 09 — Probabilidad y procesos aleatorios
Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]²
σ = √Var(X)
muestral insesgada: s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)La varianza promedia el cuadrado de las desviaciones respecto de la media. Se eleva al cuadrado, y no se toma el valor absoluto, porque así la varianza de una suma de variables independientes es la suma de varianzas —una propiedad que el valor absoluto no tiene— y porque el resultado es derivable, lo cual importa al optimizar.
El precio es que la varianza vive en unidades al cuadrado: si los datos son euros, la varianza son euros al cuadrado, y no se puede comparar con la media. Por eso se define la desviación estándar como su raíz, que vuelve a las unidades originales y sí es comparable e interpretable.
La fórmula computacional Var(X) = E[X²] − E[X]² es cómoda pero numéricamente peligrosa: resta dos números grandes y parecidos, que es exactamente la cancelación catastrófica de la parte 01. Con datos alejados del origen puede devolver varianzas negativas. Las bibliotecas serias usan el algoritmo de Welford en una pasada, no esa fórmula.
La corrección de Bessel —dividir entre n−1— compensa que las desviaciones se calculan respecto de la media muestral, que está ajustada a los propios datos y por tanto los aproxima demasiado bien. Se han gastado un grado de libertad al estimar la media, y devolverlo hace que el estimador sea insesgado.
Ocho observaciones: dos denominadores, dos resultados.
datos: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 n = 8
media: 40 / 8 = 5,0
desviaciones: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
cuadrados: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 suma = 32
varianza poblacional = 32 / 8 = 4,0 σ = 2,0
varianza muestral = 32 / 7 = 4,5714 s = 2,1381
Con n grande la diferencia se desvanece; con n = 8 es del 14 %.Varianza, desviación estándar y el estimador insesgado.
python classes/part-09-probabilidad-y-procesos-aleatorios/190-varianza-y-desviacion-estandar/lab.py
compmath run 190datosmediavarianza_poblacional_/nvarianza_muestral_/(n-1)desviacion_estandarstatistics.pstdevstatistics.stdevcorreccion_de_BesselVar(aX)=a²Var(X){
"datos": [
2.0,
4.0,
4.0,
4.0,
5.0,
5.0,
7.0,
9.0
],
"media": 5.0,
"varianza_poblacional_/n": 4.0,
"varianza_muestral_/(n-1)": 4.57142857,
"desviacion_estandar": 2.0,
"statistics.pstdev": 2.0
}Normalización de características, batch normalization, control de calidad, medición de riesgo financiero y análisis de estabilidad de entrenamientos.
Un modelo de lenguaje es una distribución condicional sobre el siguiente token; la difusión es un proceso estocástico con reverso aprendido.
9780387217369 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).