Inicio · Parte 09 — Probabilidad y procesos aleatorios
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
si A y B son disjuntos: P(A∪B) = P(A) + P(B)
P(A∩B) = P(A)·P(B|A) (regla del producto)La regla de la suma general es inclusión-exclusión, la misma idea que apareció en combinatoria en la parte 04: al sumar P(A) y P(B) se cuentan dos veces los resultados que están en ambos, y hay que restarlos una vez. El caso simple —sumar sin más— solo vale cuando los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, cuando su intersección es vacía.
La distinción importa porque el error es silencioso. Si dos eventos se solapan poco, la suma sin corregir da un número plausible pero equivocado, y nada avisa. Solo cuando el solapamiento es grande la suma supera 1 y el fallo se hace visible. La costumbre correcta es preguntarse siempre si los eventos pueden ocurrir a la vez.
La regla del producto es la definición de probabilidad condicional despejada: P(A∩B) = P(A)·P(B|A). Se lee como una secuencia: primero ocurre A, y después B dado que A ocurrió. Encadenada, produce la regla de la cadena probabilística P(A₁∩…∩Aₙ) = P(A₁)·P(A₂|A₁)·…·P(Aₙ|A₁…Aₙ₋₁), que es exactamente cómo un modelo de lenguaje autorregresivo factoriza la probabilidad de una frase.
Solo cuando hay independencia el producto se simplifica a P(A)·P(B). Ese atajo es tan cómodo que se aplica por inercia, y la clase 185 insiste en que la independencia es una propiedad que se verifica, no una comodidad que se asume.
Dos dados: A = "el primero es 1", B = "la suma es 7".
P(A) = 6/36 = 0,1667
P(B) = 6/36 = 0,1667
A∩B = {(1,6)} P(A∩B) = 1/36 = 0,0278
inclusión-exclusión:
P(A∪B) = 0,1667 + 0,1667 − 0,0278 = 0,3056
conteo directo: |A∪B| = 11 pares 11/36 = 0,3056 ✓
sumar sin restar daría 0,3333: un 9 % de más, sin ningún aviso.Regla de la suma con y sin exclusión mutua.
python classes/part-09-probabilidad-y-procesos-aleatorios/183-reglas-de-suma-y-producto/lab.py
compmath run 183P(A)_primer_dado_1P(B)_suma_7P(A∩B)P(A∪B)_inclusion_exclusionP(A∪B)_directoson_mutuamente_excluyentesP(A)·P(B)son_independientes{
"P(A)_primer_dado_1": 0.16666666666666666,
"P(B)_suma_7": 0.16666666666666666,
"P(A∩B)": 0.027777777777777776,
"P(A∪B)_inclusion_exclusion": 0.3055555555555556,
"P(A∪B)_directo": 0.3055555555555556,
"son_mutuamente_excluyentes": false
}Cálculo de tasas de fallo en sistemas redundantes, unión de condiciones en filtros de datos y factorización autorregresiva de secuencias.
Un modelo de lenguaje es una distribución condicional sobre el siguiente token; la difusión es un proceso estocástico con reverso aprendido.
9780134753119 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).