Inicio · Parte 09 — Probabilidad y procesos aleatorios
1. P(A) ≥ 0
2. P(Ω) = 1
3. A∩B = ∅ ⟹ P(A∪B) = P(A) + P(B)
consecuencias: P(∅) = 0, P(Aᶜ) = 1 − P(A)En 1933 Kolmogorov redujo la probabilidad a tres reglas. La primera dice que no hay probabilidades negativas; la segunda, que algo tiene que pasar; la tercera, que si dos eventos no pueden ocurrir a la vez, la probabilidad de que ocurra alguno es la suma. Nada más. Todo teorema de probabilidad es una consecuencia de estos tres enunciados.
De ellos se deducen inmediatamente las propiedades que se usan a diario. Como Ω y ∅ son disjuntos y su unión es Ω, resulta P(∅) = 0. Como A y Aᶜ son disjuntos y su unión es Ω, resulta la regla del complemento P(Aᶜ) = 1 − P(A), que es la herramienta más rentable del cálculo elemental: casi siempre es más fácil contar lo que no pasa.
También se deduce la monotonía: si A ⊆ B entonces P(A) ≤ P(B), y por tanto ninguna probabilidad puede pasar de 1. Un cálculo que devuelva 1,3 no está mal redondeado: está mal planteado, casi siempre por sumar eventos que se solapan sin restar la intersección.
Los axiomas no dicen qué probabilidades asignar. Esa es una decisión de modelado —por simetría, por frecuencia observada o por creencia subjetiva— y los axiomas solo garantizan que la asignación sea coherente. Esa separación entre estructura y modelo es lo que permite que frecuentistas y bayesianos usen la misma matemática y discrepen en la interpretación.
Comprobación de los axiomas sobre una distribución de tres resultados.
Ω = {a, b, c} P(a)=0,5 P(b)=0,3 P(c)=0,2
Axioma 1 no negatividad: 0,5 ≥ 0, 0,3 ≥ 0, 0,2 ≥ 0 ✓
Axioma 2 normalización: 0,5 + 0,3 + 0,2 = 1,0 ✓
Axioma 3 aditividad: P({a,b}) = 0,5 + 0,3 = 0,8 ✓
Consecuencias:
P(∅) = 0
P(aᶜ) = 1 − 0,5 = 0,5 = P(b) + P(c) ✓
A={a} ⊆ B={a,b}: 0,5 ≤ 0,8 ✓Los tres axiomas de Kolmogorov verificados sobre un modelo.
python classes/part-09-probabilidad-y-procesos-aleatorios/182-axiomas-de-probabilidad/lab.py
compmath run 182distribucionaxioma_1_no_negatividadaxioma_2_P(Ω)=1axioma_3_aditividadP(∅)P(Aᶜ)monotoniaP_nunca_supera_1{
"distribucion": {
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"axioma_1_no_negatividad": true,
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"P(Aᶜ)": 0.5
}Validación de distribuciones en código —comprobar que una salida softmax suma 1—, verificación de modelos probabilísticos y depuración de simuladores.
Un modelo de lenguaje es una distribución condicional sobre el siguiente token; la difusión es un proceso estocástico con reverso aprendido.