Inicio · Parte 08 — Cálculo multivariable, matricial y autodiferenciación
∬f dA = ∫(∫f dx)dy
sobre un rectángulo: los límites son constantesUna integral doble acumula sobre una región del plano en lugar de sobre un intervalo. Su definición es un límite de sumas sobre una malla de rectángulos, análoga a la suma de Riemann de la clase 153.
El teorema de Fubini permite calcularla como dos integrales simples encadenadas, en cualquier orden, siempre que la función sea integrable. Esa reducción es lo que la hace calculable: en lugar de un límite bidimensional, dos aplicaciones del cálculo de una variable.
El coste computacional de la integración numérica en varias dimensiones crece exponencialmente: una malla con n puntos por dimensión requiere nᵈ evaluaciones. En dimensión 10 con 100 puntos por eje son 10²⁰ evaluaciones: imposible. Esa es la maldición de la dimensionalidad aplicada a la integración.
La salida es Monte Carlo (clase 198), cuyo error decae como 1/√n independientemente de la dimensión. Por eso toda expectativa de alta dimensión en machine learning se estima muestreando en lugar de integrando en malla: el ELBO de un VAE, la esperanza de una política en RL, cualquier integral sobre el espacio de parámetros.
Integral doble de xy sobre un rectángulo.
∬ xy dA sobre [0,2] × [0,3]
Por Fubini:
∫₀³ (∫₀² xy dx) dy = ∫₀³ (2y) dy = 9
Valor exacto: (2²/2)·(3²/2) = 2·4.5 = 9
Numérico con malla 200×200: 9.00000000
error: 1.1e−13 ✓
Coste: 40 000 evaluaciones para 2 dimensiones.
En 10 dimensiones serían 100¹⁰.Integral doble sobre un rectángulo por suma de Riemann.
python classes/part-08-calculo-multivariable-matricial-y-autodiferenciacion/173-integrales-dobles/lab.py
compmath run 173integrandoregionaproximacionvalor_exactoerrorteorema_de_Fubinisubdivisiones{
"integrando": "xy",
"region": "[0,2] × [0,3]",
"aproximacion": 9.0,
"valor_exacto": 9.0,
"error": 0.0,
"teorema_de_Fubini": "∫∫ = ∫(∫dx)dy cuando f es integrable"
}Probabilidades conjuntas, marginalización, cálculo de masas y centros de gravedad, y normalización de densidades multivariantes.
Autograd de PyTorch y JAX es exactamente el modo reverso del grafo de cómputo que se construye en esta parte a mano.
9781285740621 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9781475741452 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).