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Inicio · Parte 08 — Cálculo multivariable, matricial y autodiferenciación

172 — Multiplicadores de Lagrange

universitario-avanzado clase 12 de 20 4 horas demostración lagrange_multipliers

Lagrange convierte una restricción en un término del objetivo, y su multiplicador mide el precio de esa restricción.

Fórmulas

L = f(x) − λ(g(x) − c)
∇f = λ∇g en el óptimo
λ = tasa de mejora del óptimo por unidad de relajación

Desarrollo

Optimizar con una restricción de igualdad no se puede hacer anulando el gradiente del objetivo: el óptimo restringido rara vez es un punto crítico libre. La condición correcta es que los gradientes del objetivo y de la restricción sean paralelos: ∇f = λ∇g.

La intuición geométrica es clara. Si el gradiente del objetivo tuviera una componente tangente a la curva de restricción, se podría mejorar moviéndose a lo largo de ella. En el óptimo, esa componente tangente debe anularse, y eso ocurre exactamente cuando ambos gradientes son colineales.

El multiplicador λ no es un artificio de cálculo: tiene interpretación económica directa. Es la tasa a la que mejora el óptimo si se relaja la restricción una unidad —el precio sombra en programación lineal—. En el ejemplo del laboratorio, maximizar xy con x+y=10 da λ = 5: cada unidad adicional de presupuesto añade 5 al óptimo.

La generalización a restricciones de desigualdad son las condiciones KKT (clase 257), que añaden dos requisitos: los multiplicadores deben ser no negativos y debe cumplirse la holgura complementaria —una restricción inactiva tiene multiplicador nulo—. Toda la optimización con restricciones se construye sobre esta clase.

Ejemplo trabajado

Maximizar xy sujeto a x + y = 10.

L = xy − λ(x + y − 10)

Condiciones:
  ∂L/∂x: y = λ
  ∂L/∂y: x = λ
  restricción: x + y = 10

Solución: x = y = 5,  λ = 5,  valor óptimo = 25

Verificación con alternativas:
  x=1 → 9    x=3 → 21   x=5 → 25   x=7 → 21   x=9 → 9
  el máximo está en x=5                        ✓

Interpretación de λ: si el presupuesto sube a 11,
el óptimo sube aproximadamente 5 unidades.

Qué calcula el laboratorio

Maximizar xy sujeto a x+y=10 con multiplicadores de Lagrange.

python classes/part-08-calculo-multivariable-matricial-y-autodiferenciacion/172-multiplicadores-de-lagrange/lab.py
compmath run 172

Salidas del laboratorio (8)

Muestra de la ejecución real

{
  "objetivo": "max xy",
  "restriccion": "x + y = 10",
  "solucion": [
    5.0,
    5.0
  ],
  "valor_optimo": 25.0,
  "multiplicador_lambda": 5.0,
  "interpretacion_de_lambda": "cuánto mejora el óptimo si la restricción sube en 1"
}

Errores comunes

Dónde se usa

Optimización con restricciones, SVM con margen máximo, regularización vista como restricción, y precios sombra en asignación de recursos.

Idea rectora de la parte

El Jacobiano generaliza la derivada a funciones vectoriales.

Error a evitar

Olvidar acumular gradientes cuando un nodo se reutiliza en el grafo.

Conexión con IA

Autograd de PyTorch y JAX es exactamente el modo reverso del grafo de cómputo que se construye en esta parte a mano.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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